解説

方針・初手

対数方程式は，まず指数方程式に直すのが基本である。

$$ \log_y(6x+y)=x \quad\Longleftrightarrow\quad y^x=6x+y $$

これを

$$ y(y^{x-1}-1)=6x $$

と変形すると，$y$ が $6x$ の約数であることや，$x,y$ の大小関係を使って候補を大きく絞れる。

解法1

対数の底の条件より，

$$ y>0,\quad y\ne 1 $$

である。$y$ は正の整数だから，

$$ y\ge 2 $$

である。

また，与式は

$$ \log_y(6x+y)=x $$

より

$$ y^x=6x+y $$

すなわち

$$ y(y^{x-1}-1)=6x $$

と書ける。

まず $x=1$ のときを調べると，

$$ y=6+y $$

となって不可能である。したがって

$$ x\ge 2 $$

である。

ここで $x\ge 3$ として，もし $y\ge x$ なら，

$$ 6x=y(y^{x-1}-1)\ge x(x^{x-1}-1) $$

となる。ところが $x\ge 3$ なら

$$ x^{x-1}-1\ge 3^2-1=8 $$

であるから，

$$ 6x\ge x(x^{x-1}-1)\ge 8x $$

となって矛盾する。よって $x\ge 3$ のときは

$$ y<x $$

である。

このとき $y\ge 2$ なので，

$$ 2^x\le y^x=6x+y<7x $$

が成り立つ。したがって $x$ はあまり大きくならない。実際，

$$ x\ge 6 $$

なら $2^x>7x$ となるので不可能である。よって

$$ x=2,3,4,5 $$

だけを調べればよい。

**(1)**

$x=2$ のとき

$$ y^2=12+y $$

より

$$ y^2-y-12=0 $$

$$ (y-4)(y+3)=0 $$

したがって正の整数解は

$$ y=4 $$

である。

**(2)**

$x=3$ のとき

$x\ge 3$ だから $y<x$ より $y=2$ しかない。確認すると，

$$ 2^3=8,\qquad 6\cdot 3+2=20 $$

で一致しない。よって解なし。

**(3)**

$x=4$ のとき

$y<x$ より $y=2,3$ を調べればよい。

$$ 2^4=16\ne 24+2=26 $$

$$ 3^4=81\ne 24+3=27 $$

よって解なし。

**(4)**

$x=5$ のとき

$y<x$ より $y=2,3,4$ を調べる。

$$ 2^5=32,\qquad 6\cdot 5+2=32 $$

となり，$y=2$ は適する。

一方，

$$ 3^5=243\ne 30+3=33 $$

$$ 4^5=1024\ne 30+4=34 $$

であるから，他に解はない。

以上より，求める正の整数の組は

$$ (x,y)=(2,4),(5,2) $$

である。

解説

この問題の要点は，対数を指数に直したあと

$$ y(y^{x-1}-1)=6x $$

という形にすることである。

ここから，$x\ge 3$ のとき $y\ge x$ は成り立たないことが分かり，さらに $y<x$ を使って

$$ 2^x\le y^x=6x+y<7x $$

と評価できる。これにより $x$ の候補が $2,3,4,5$ に絞られ，あとは有限個の確認で終わる。

答え

$$ (x,y)=(2,4),(5,2) $$