基礎問題集
数学2 指数対数「対数関数」の問題78 解説
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解説
方針・初手
三次式
$$ f(x)=2x^3-9x^2-60x+275 $$
とおくと、（1） は微分して極値を調べればよい。
また （2） は
$$ 2x^3-9x^2-60x+276>1 $$
より
$$ f(x)>0 $$
と同値になるので、（1） で調べた三次式の形や因数分解を使えばよい。
さらに （3） では、底
$$ 2x^3-9x^2-60x+276 $$
が （2） の範囲では $1$ より大きいことを用いると、対数関数の単調性により真数同士の大小比較に帰着できる。
解法1
（1） 極値を求める。
$$ y=2x^3-9x^2-60x+275 $$
とすると、
$$ y'=6x^2-18x-60=6(x^2-3x-10)=6(x-5)(x+2) $$
である。したがって停留点は
$$ x=-2,\ 5 $$
である。
増減を調べると、
- $x<-2$ で $y'>0$
- $-2<x<5$ で $y'<0$
- $x>5$ で $y'>0$
となる。よって $x=-2$ で極大、$x=5$ で極小である。
それぞれの値は
$$ y(-2)=2(-2)^3-9(-2)^2-60(-2)+275=-16-36+120+275=343 $$
$$ y(5)=2\cdot 5^3-9\cdot 5^2-60\cdot 5+275=250-225-300+275=0 $$
である。
したがって、$x=-2$ で極大値 $343$、$x=5$ で極小値 $0$ をとる。
（2） 不等式
$$ 2x^3-9x^2-60x+276>1 $$
を解く。
これは
$$ 2x^3-9x^2-60x+275>0 $$
すなわち
$$ f(x)>0 $$
である。ここで
$$ 2x^3-9x^2-60x+275 $$
は $x=5$ を代入すると $0$ になるので、$(x-5)$ を因数にもつ。実際に因数分解すると
$$ 2x^3-9x^2-60x+275=(x-5)^2(2x+11) $$
である。
よって不等式は
$$ (x-5)^2(2x+11)>0 $$
となる。$(x-5)^2\geqq 0$ であり、$x=5$ のときだけ $0$ になるから、符号は $2x+11$ で決まる。ただし $x=5$ では等号になるので除く。
したがって
$$ 2x+11>0,\quad x\neq 5 $$
より、
$$ x>-\frac{11}{2},\quad x\neq 5 $$
すなわち
$$ -\frac{11}{2}<x<5,\quad x>5 $$
である。
（3） （2） で求めた $x$ の範囲で、
$$ \log_{(2x^3-9x^2-60x+276)}(2x^2-x-1)>\log_{(2x^3-9x^2-60x+276)}(x^2+x-2) $$
を解く。
まず （2） の範囲では
$$ 2x^3-9x^2-60x+276>1 $$
であるから、対数の底は $1$ より大きい。したがって対数関数は単調増加であり、不等式は真数がともに正である範囲で
$$ 2x^2-x-1>x^2+x-2 $$
と同値である。
まず真数条件を調べる。
$$ 2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)>0 $$
より
$$ x<-\frac12 \quad \text{または} \quad x>1 $$
また、
$$ x^2+x-2=(x+2)(x-1)>0 $$
より
$$ x<-2 \quad \text{または} \quad x>1 $$
である。両方を満たすには
$$ x<-2 \quad \text{または} \quad x>1 $$
である。
次に真数同士の大小を調べると、
$$ 2x^2-x-1-(x^2+x-2)=x^2-2x+1=(x-1)^2 $$
であるから、
$$ 2x^2-x-1>x^2+x-2 $$
は
$$ (x-1)^2>0 $$
すなわち
$$ x\neq 1 $$
と同値である。これは上の真数条件 $x<-2$ または $x>1$ のもとでは自動的に満たされる。
最後に （2） の範囲
$$ -\frac{11}{2}<x<5,\quad x>5 $$
と合わせると、
$$ -\frac{11}{2}<x<-2,\quad 1<x<5,\quad x>5 $$
となる。
解説
この問題の中心は、三次式
$$ 2x^3-9x^2-60x+275 $$
を一つのまとまりとして扱うことである。（1） で極値を求めておくと、（2） の不等式はその三次式の符号の問題に帰着する。
さらに （2） の条件は、（3） における対数の底が $1$ より大きいことを保証している。したがって （3） では、対数の大小比較をそのまま真数の大小比較に直せる。ただし対数では真数条件を落としやすいので、そこを先に確認するのが重要である。
答え
**(1)**
極大値は $343$（$x=-2$）、極小値は $0$（$x=5$）である。
**(2)**
$$ -\frac{11}{2}<x<5,\quad x>5 $$
**(3)**
$$ -\frac{11}{2}<x<-2,\quad 1<x<5,\quad x>5 $$