解説

方針・初手

まず対数の真数条件を確認する。さらに、右辺の $2$ を $2=\log_2 4$ とみて対数をまとめれば、ふつうの多項式不等式に直せる。

解法1

真数条件より、

$$ x-5>0,\quad x>0,\quad 2x-3>0 $$

でなければならない。したがって、

$$ x>5 $$

である。

ここで、右辺の $2$ を

$$ 2=\log_2 4 $$

と書くと、与えられた不等式

$$ \log_2(x-5)+2\log_2 x<\log_2(2x-3)+2 $$

は

$$ \log_2(x-5)+\log_2 x^2<\log_2(2x-3)+\log_2 4 $$

となる。よって、対数の性質より

$$ \log_2{(x-5)x^2}<\log_2{4(2x-3)} $$

である。

底 $2$ は $1$ より大きいので、真数同士を比較して

$$ (x-5)x^2<4(2x-3) $$

すなわち

$$ x^3-5x^2-8x+12<0 $$

を得る。

左辺を因数分解すると、

$$ x^3-5x^2-8x+12=(x-1)(x-6)(x+2) $$

である。したがって

$$ (x-1)(x-6)(x+2)<0 $$

を解けばよい。

根は $-2,1,6$ であり、先頭係数は正であるから、符号は

$$ (-\infty,-2),\ (1,6) $$

で負になる。したがって、不等式の解は

$$ (-\infty,-2)\cup(1,6) $$

である。これと定義域 $x>5$ を合わせると

よって求める解は

$$ 5<x<6 $$

である。

解説

この問題の要点は、最初に真数条件を落とさないことである。そのうえで $2=\log_2 4$ と直せば、両辺を1つの対数にまとめられる。底が $2>1$ なので、対数を外したあとの不等式の向きはそのままでよい。

最後は3次式の因数分解である。定義域 $x>5$ があるので、全体の解を出したあと必ず条件で絞る必要がある。

答え

$$ 5<x<6 $$

したがって、$[オ]$ は $5<x<6$ である。