解説

方針・初手

共通値を用いて $y,z$ を $x$ で表す方針をとる。

$2025=3^4\cdot 5^2$ であるから，$2025^x=3^y=5^z$ という条件から $y=\log_3(2025^x)$，$z=\log_5(2025^x)$ と書ける。これを $2xy+4xz-yz$ に代入して整理すればよい。

解法1

共通値を $t$ とおくと，

$$ t=2025^x=3^y=5^z $$

である。

したがって，

$$ y=\log_3 t=\log_3(2025^x)=x\log_3 2025 $$

であり，$2025=3^4\cdot 5^2$ より

$$ \log_3 2025=\log_3(3^4\cdot 5^2)=4+2\log_3 5 $$

だから，

$$ y=x(4+2\log_3 5) $$

を得る。

同様に，

$$ z=\log_5 t=\log_5(2025^x)=x\log_5 2025 $$

であり，

$$ \log_5 2025=\log_5(3^4\cdot 5^2)=4\log_5 3+2 $$

だから，

$$ z=x(4\log_5 3+2) $$

を得る。

ここで

$$ a=\log_3 5 $$

とおくと，底の変換公式より

$$ \log_5 3=\frac{1}{\log_3 5}=\frac{1}{a} $$

である。したがって，

$$ y=x(4+2a),\qquad z=x\left(\frac{4}{a}+2\right) $$

と書ける。

これを求める式に代入すると，

$$ \begin{aligned} 2xy+4xz-yz &=2x\cdot x(4+2a)+4x\cdot x\left(\frac{4}{a}+2\right)-x(4+2a)\cdot x\left(\frac{4}{a}+2\right) \\ &=x^2\left\{2(4+2a)+4\left(\frac{4}{a}+2\right)-(4+2a)\left(\frac{4}{a}+2\right)\right\}. \end{aligned} $$

各項を展開すると，

$$ 2(4+2a)=8+4a, $$

$$ 4\left(\frac{4}{a}+2\right)=\frac{16}{a}+8, $$

$$ (4+2a)\left(\frac{4}{a}+2\right)=\frac{16}{a}+8+8+4a=\frac{16}{a}+16+4a $$

であるから，

$$ \begin{aligned} 2xy+4xz-yz &=x^2\left\{(8+4a)+\left(\frac{16}{a}+8\right)-\left(\frac{16}{a}+16+4a\right)\right\} \\ &=x^2\cdot 0 \\ &=0. \end{aligned} $$

よって，

$$ 2xy+4xz-yz=0 $$

が示された。

解説

条件 $2025^x=3^y=5^z$ を見たら，共通値を通して各変数を結び付けるのが基本方針である。

この問題では $2025=3^4\cdot 5^2$ と素因数分解できることが本質であり，それによって $\log_3 2025,\log_5 2025$ が簡単な形に直せる。さらに $\log_5 3=\dfrac{1}{\log_3 5}$ を使うと，代入後の式がきれいに打ち消し合う。

答え

$$ 2xy+4xz-yz=0 $$

である。