基礎問題集
数学2 図形と式「アポロニウスの円」の問題1 解説
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解説
方針・初手
点 $P$ を座標で $P(x,y)$ とおき、条件「$A$ と $B$ からの距離の比が $3:1$」をそのまま式にする。
すなわち
$$ PA:PB=3:1 $$
より
$$ PA=3PB $$
とおいて、距離の公式で表せばよい。
解法1
点 $P(x,y)$ とおくと、
$$ PA=\sqrt{(x+2)^2+y^2},\qquad PB=\sqrt{(x-6)^2+y^2} $$
である。
条件 $PA=3PB$ より、
$$ \sqrt{(x+2)^2+y^2}=3\sqrt{(x-6)^2+y^2} $$
両辺を2乗して
$$ (x+2)^2+y^2=9{(x-6)^2+y^2} $$
これを展開すると
$$ x^2+4x+4+y^2=9x^2-108x+324+9y^2 $$
よって
$$ 8x^2-112x+320+8y^2=0 $$
すなわち
$$ x^2-14x+y^2+40=0 $$
ここで平方完成すると
$$ (x-7)^2+y^2=9 $$
したがって、点 $P$ の軌跡は
$$ (x-7)^2+y^2=9 $$
で表される円である。
解説
2点からの距離の比が一定である点の軌跡は、一般にアポロニウスの円になる。
この問題では、座標を用いて距離を直接式にし、2乗して整理すればそのまま円の方程式が得られる。比の条件を $PA=3PB$ と正しく置くことが要点である。
答え
点 $P$ の軌跡は
$$ (x-7)^2+y^2=9 $$
である。