解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $P(x,y)$ とおく。 条件「$A(2,5),B(3,1)$ からの距離の比が $1:2$」は

$$ PA:PB=1:2 $$

ということであるから、

$$ PB=2PA $$

と書ける。距離の式を座標で表し、両辺を2乗して整理すれば軌跡の方程式が得られる。

解法1

点 $P$ を $P(x,y)$ とする。

すると

$$ PA=\sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2},\qquad PB=\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2} $$

である。

条件より

$$ \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}:\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=1:2 $$

だから、

$$ \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=2\sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2} $$

となる。両辺を2乗して

$$ (x-3)^2+(y-1)^2=4{(x-2)^2+(y-5)^2} $$

を得る。

これを展開すると

$$ x^2-6x+9+y^2-2y+1=4x^2-16x+16+4y^2-40y+100 $$

よって

$$ 3x^2-10x+3y^2-38y+106=0 $$

となる。

ここで平方完成すると

$$ 3\left(x-\frac53\right)^2+3\left(y-\frac{19}3\right)^2-\frac{68}3=0 $$

すなわち

$$ \left(x-\frac53\right)^2+\left(y-\frac{19}3\right)^2=\frac{68}{9} $$

である。

したがって、点 $P$ の軌跡は、中心

$$ \left(\frac53,\frac{19}3\right) $$

半径

$$ \frac{2\sqrt{17}}{3} $$

の円である。

解説

距離の比が一定である点の軌跡は、一般にアポロニウスの円になる。 この問題では比が $1:2$ であり、比が $1$ ではないので軌跡は直線ではなく円になる。

座標で処理する場合は、まず距離の比を等式に直し、平方根を外すために2乗するのが基本である。最後は平方完成して円の標準形に直せばよい。

答え

点 $P$ の軌跡は

$$ \left(x-\frac53\right)^2+\left(y-\frac{19}3\right)^2=\frac{68}{9} $$

で表される円である。

中心は $\left(\frac53,\frac{19}3\right)$、半径は $\frac{2\sqrt{17}}{3}$ である。