解説

方針・初手

各円の半径そのものよりも、まず「その円の最下点の $y$ 座標」に注目する。

$C_{n+1}$ は $C_n$ の上で外接し、しかも両方の中心は $y$ 軸上にあるから、$C_{n+1}$ の最下点は $C_n$ の最上点に一致する。したがって、円は下から順に積み上がっているとみなせる。

そこで、最下点が $(0,t)$ にある、中心が $y$ 軸上の円のうち、領域 $D:\ y\ge x^2$ に含まれる最大のものの半径を求める。

解法1

最下点が $(0,t)$ にあり、中心が $y$ 軸上にある円の半径を $r$ とする。このとき中心は $(0,t+r)$ であり、円の方程式は

$$ x^2+(y-t-r)^2=r^2 $$

である。

この円が $D$ 内にあり、しかも半径が最大であるとき、放物線 $y=x^2$ と接するはずである。接点を $(x,x^2)$ とすると、

$$ x^2+(x^2-t-r)^2=r^2 $$

を満たす。

ここで $u=x^2$ とおくと、

$$ u^2+{1-2(t+r)}u+t(t+2r)=0 $$

を得る。

接するためには、この二次方程式が重解をもてばよいから、判別式を $0$ とおく。

$$ {1-2(t+r)}^2-4t(t+2r)=0 $$

これを整理すると、

$$ 4r^2-4r+1-4t=0 $$

すなわち

$$ (2r-1)^2=4t $$

となる。よって

$$ r=\frac12\pm\sqrt{t} $$

であり、半径が最大となるのは

$$ r=\frac12+\sqrt{t} $$

のときである。

次に、$C_n$ の最下点の $y$ 座標を求める。

$C_1$ は原点を通るから、最下点は $y=0$ である。また、$C_{n+1}$ の最下点は $C_n$ の最上点に一致する。$C_n$ の直径は $2a_n$ であるから、順に積み上げると、$C_n$ の最下点の $y$ 座標は

$$ 2(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})=2b_{n-1} $$

である。

したがって、$n\ge2$ のとき $C_n$ は「最下点が $y=2b_{n-1}$ にある最大円」であるから、その半径 $a_n$ は

$$ a_n=\frac12+\sqrt{2b_{n-1}} $$

となる。

**(1)**

$t=0$ とすれば、

$$ a_1=\frac12 $$

である。

**(2)**

上で求めた一般式より、$n\ge2$ のとき

$$ a_n=\frac12+\sqrt{2b_{n-1}} $$

である。

**(3)**

$b_n=b_{n-1}+a_n$ だから、$n\ge2$ で

$$ b_n=b_{n-1}+\frac12+\sqrt{2b_{n-1}} $$

となる。両辺を $2$ 倍すると、

$$ 2b_n=2b_{n-1}+1+2\sqrt{2b_{n-1}} =\left(\sqrt{2b_{n-1}}+1\right)^2 $$

を得る。

両辺は非負であるから、

$$ \sqrt{2b_n}=\sqrt{2b_{n-1}}+1 $$

となる。

さらに （1） より

$$ \sqrt{2b_1}=\sqrt{2a_1}=\sqrt{1}=1 $$

であるから、帰納的に

$$ \sqrt{2b_n}=n $$

が成り立つ。したがって

$$ b_n=\frac{n^2}{2} $$

であり、

$$ a_n=b_n-b_{n-1} =\frac{n^2-(n-1)^2}{2} =\frac{2n-1}{2} $$

となる。

解説

この問題では、各円を「どこを通るか」ではなく「最下点がどこにあるか」で捉えるのが要点である。$C_n$ の最下点は $2b_{n-1}$ だけ上にあり、そこから放物線 $y=x^2$ に内接する最大円を考えればよい。

最大条件から円と放物線は接するので、接点の条件を立てればよい。$x^2=u$ と置くと二次方程式になり、重解条件で半径が簡潔に求まる。その後は $b_n$ の漸化式を平方完成して、$\sqrt{2b_n}$ が等差数列になることを見抜けばよい。

答え

**(1)**

$$ a_1=\frac12 $$

**(2)**

$$ a_n=\frac12+\sqrt{2b_{n-1}}\qquad(n\ge2) $$

**(3)**

$$ a_n=\frac{2n-1}{2} $$