解説

方針・初手

円の方程式を

$$ x^2+y^2+lx+my+n=0 $$

とおき，3点 $(0,0),(1,1),(\alpha,\alpha+1)$ を代入して係数 $l,m,n$ を求める。

その後，中心と半径の公式を用いて，半径が $\sqrt{5}$ となる条件から $\alpha$ を決定する。

解法1

円 $C$ の方程式を

$$ x^2+y^2+lx+my+n=0 $$

とおく。

まず，$(0,0)$ を通るから，

$$ n=0 $$

である。

次に，$(1,1)$ を通るので，

$$ 1^2+1^2+l+m=0 $$

すなわち，

$$ l+m=-2 $$

を得る。

さらに，$(\alpha,\alpha+1)$ を通るので，

$$ \alpha^2+(\alpha+1)^2+l\alpha+m(\alpha+1)=0 $$

である。これを整理すると，

$$ 2\alpha^2+2\alpha+1+\alpha l+\alpha m+m=0 $$

となる。ここで $l+m=-2$ を用いると，

$$ 2\alpha^2+2\alpha+1+\alpha(-2)+m=0 $$

すなわち，

$$ 2\alpha^2+1+m=0 $$

だから，

$$ m=-2\alpha^2-1 $$

である。よって，

$$ l=-2-m=-2-(-2\alpha^2-1)=2\alpha^2-1 $$

となる。

したがって，円 $C$ の方程式は

$$ x^2+y^2+(2\alpha^2-1)x-(2\alpha^2+1)y=0 $$

である。

次に，この円の中心を求める。一般に

$$ x^2+y^2+lx+my+n=0 $$

の中心は

$$ \left(-\frac l2,-\frac m2\right) $$

であるから，円 $C$ の中心は

$$ \left(\frac{1-2\alpha^2}{2},\frac{2\alpha^2+1}{2}\right) $$

である。

次に，半径を求めるために，この円の方程式

$$ x^2+y^2+(2\alpha^2-1)x-(2\alpha^2+1)y=0 $$

を平方完成すると，

$$ \begin{aligned} \left(x+\frac{2\alpha^2-1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{2\alpha^2+1}{2}\right)^2 &=\frac{(2\alpha^2-1)^2+(2\alpha^2+1)^2}{4} \\ &=\frac{8\alpha^4+2}{4} \\ &=2\alpha^4+\frac12 \end{aligned} $$

となる。したがって，

$$ r^2=2\alpha^4+\frac12 $$

である。

ここで半径が $\sqrt{5}$ であるから，

$$ 2\alpha^4+\frac12=5 $$

よって，

$$ 2\alpha^4=\frac92 $$

すなわち，

$$ \alpha^4=\frac94 $$

となるので，

$$ \alpha=\pm\sqrt{\frac32} $$

である。

このとき

$$ \alpha^2=\frac32 $$

だから，中心は

$$ \left(\frac{1-2\cdot\frac32}{2},\frac{2\cdot\frac32+1}{2}\right) =\left(-1,2\right) $$

となる。

解説

円の方程式を一般形でおき，通る点を順に代入するのが基本である。

この問題では，$(0,0)$ を通るので定数項がすぐに $0$ と決まり，計算がかなり軽くなる。あとは中心を求めて平方完成すれば，半径条件も素直に処理できる。

答え

**(1)**

円 $C$ の方程式は

$$ x^2+y^2+(2\alpha^2-1)x-(2\alpha^2+1)y=0 $$

である。

**(2)**

半径が $\sqrt{5}$ となるのは

$$ \alpha=\pm\sqrt{\frac32} $$

のときであり，そのとき円 $C$ の中心は

$$ (-1,2) $$

である。