解説

方針・初手

与えられた円の方程式を $a$ について整理すると、

$$ x^2+y^2-5+a(2x-y+5)=0 $$

となる。したがって、実数 $a$ の値によらず常に通る定点は、

• $a$ の係数 $2x-y+5$
• 定数項 $x^2+y^2-5$

が同時に $0$ になる点として求められる。

また、円 $x^2+y^2=1$ と接する条件は、2円の共通点が1点になることである。2つの方程式を引くと共通点は1本の直線上にあるので、接するときこの直線は単位円の接線になる。このことを用いて $a$ を求める。

解法1

まず、定点を求める。

与式

$$ x^2+y^2+2ax-ay-5+5a=0 $$

を $a$ についてまとめると、

$$ x^2+y^2-5+a(2x-y+5)=0 $$

である。これが任意の実数 $a$ について成り立つには、

$$ \begin{cases} x^2+y^2-5=0\\ 2x-y+5=0 \end{cases} $$

を満たせばよい。

$2x-y+5=0$ より

$$ y=2x+5 $$

であるから、これを $x^2+y^2=5$ に代入すると、

$$ x^2+(2x+5)^2=5 $$

すなわち

$$ 5x^2+20x+20=0 $$

となる。これを整理すると、

$$ x^2+4x+4=0 $$

より

$$ (x+2)^2=0 $$

したがって

$$ x=-2,\qquad y=1 $$

である。よって定点は $(-2,1)$ である。

次に、この円が $x^2+y^2=1$ に接するときの $a$ を求める。

2つの円

$$ x^2+y^2+2ax-ay-5+5a=0 $$

と

$$ x^2+y^2=1 $$

の差をとると、共通点は

$$ 2ax-ay+5a-4=0 $$

すなわち

$$ a(2x-y+5)=4 $$

を満たす。

この直線が単位円 $x^2+y^2=1$ に接すればよい。$a=0$ では上式が $-4=0$ となって不可能であるから、$a\neq 0$ としてよい。

直線

$$ 2ax-ay+5a-4=0 $$

と原点との距離は

$$ \begin{aligned} \frac{|5a-4|}{\sqrt{(2a)^2+(-a)^2}} &= \frac{|5a-4|}{|a|\sqrt{5}} \end{aligned} $$

である。これが単位円の半径 $1$ に等しければ接するから、

$$ \frac{|5a-4|}{|a|\sqrt{5}}=1 $$

となる。よって

$$ |5a-4|=|a|\sqrt{5} $$

両辺を2乗して

$$ (5a-4)^2=5a^2 $$

すなわち

$$ 25a^2-40a+16=5a^2 $$

より

$$ 20a^2-40a+16=0 $$

さらに

$$ 5a^2-10a+4=0 $$

となる。これを解くと

$$ a=\frac{10\pm\sqrt{100-80}}{10} =\frac{10\pm2\sqrt5}{10} =1\pm\frac{\sqrt5}{5} $$

である。

最後に、この2つの $a$ に対応する円の中心間距離を求める。

与式の円の中心は、平方完成より

$$ (-a,\tfrac{a}{2}) $$

である。したがって、$a_1=1+\dfrac{\sqrt5}{5},\ a_2=1-\dfrac{\sqrt5}{5}$ に対応する中心を $C_1,\ C_2$ とすると、

$$ \begin{aligned} |C_1C_2| &= \sqrt{(a_1-a_2)^2+\left(\frac{a_1-a_2}{2}\right)^2} \\ \frac{\sqrt5}{2}|a_1-a_2| \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} a_1-a_2 &= \left(1+\frac{\sqrt5}{5}\right)-\left(1-\frac{\sqrt5}{5}\right) \\ \frac{2\sqrt5}{5} \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} |C_1C_2| &= \frac{\sqrt5}{2}\cdot\frac{2\sqrt5}{5} =1 \end{aligned} $$

となる。

解説

定点を通るタイプの問題では、文字を含む式をその文字について整理し、「係数」と「定数項」を同時に $0$ にするのが基本手法である。

また、2円の接触条件を直接「中心間距離＝半径の和または差」で処理してもよいが、この問題では2式を引いて得られる直線が共通点を表すことに注目すると、接するときその直線は単位円の接線になる。すると「原点から直線までの距離が半径に等しい」という形で素直に処理できる。

答え

**[ア]** $(-2,1)$

**[イ]** $a=1\pm\dfrac{\sqrt5}{5}$

**[ウ]** $1$