基礎問題集
数学2 図形と式「円」の問題6 解説
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解説
方針・初手
円の方程式は、$x$ と $y$ について平方完成すると中心と半径が分かる形になる。
したがって、まず
$$ x^2+y^2-ax-24y=a+1 $$
を平方完成し、半径が $15$ である条件から $a$ を求める。
解法1
与えられた方程式を整理すると
$$ x^2-ax+y^2-24y=a+1 $$
である。
ここで平方完成すると、
$$ x^2-ax=\left(x-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}, \qquad y^2-24y=(y-12)^2-144 $$
より、
$$ \left(x-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+(y-12)^2-144=a+1 $$
となる。これを整理して
$$ \left(x-\frac{a}{2}\right)^2+(y-12)^2=\frac{a^2}{4}+a+145 $$
を得る。
したがって、この円の中心は
$$ \left(\frac{a}{2},12\right) $$
であり、半径は
$$ \sqrt{\frac{a^2}{4}+a+145} $$
である。
半径が $15$ だから、
$$ \sqrt{\frac{a^2}{4}+a+145}=15 $$
すなわち
$$ \frac{a^2}{4}+a+145=225 $$
である。これを解くと
$$ \frac{a^2}{4}+a-80=0 $$
両辺を $4$ 倍して
$$ a^2+4a-320=0 $$
よって
$$ (a-16)(a+20)=0 $$
となる。
$a$ は正の定数なので、
$$ a=16 $$
である。
このとき中心は
$$ \left(\frac{16}{2},12\right)=(8,12) $$
となる。
解説
この問題は、円の一般形を標準形に直す典型問題である。
$$ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 $$
の形を見たら、$x$ と $y$ それぞれを平方完成するのが基本である。平方完成後の式から中心はすぐ読み取れ、半径についての条件から文字を含む方程式を立てればよい。
答え
$$ \text{[ア]}=16,\qquad \text{[イ]}=(8,12) $$