解説

方針・初手

まず 2 つの円を標準形に直す。

円①は中心と半径がすぐ分かり，円②も平方完成すれば中心と半径が分かる。 そのうえで，

• （1） は中心間距離を直接求める。
• （2） は 2 円の式を引いて共通弦の方程式を出し，交点を具体的に求める。
• （3） は「円②が円①の中心を通る」という条件を代入して求める。
• （4） は接する条件

を用いる。

• 内接：中心間距離 $=$ 半径の差
• 外接：中心間距離 $=$ 半径の和

解法1

円①は

$$ x^2+y^2-4x=0 $$

より，

$$ (x-2)^2+y^2=4 $$

となる。したがって，中心は $C_1(2,0)$，半径は $r_1=2$ である。

円②は

$$ x^2+y^2-16x-2by+16b=0 $$

より，平方完成すると

$$ (x-8)^2+(y-b)^2=(b-8)^2 $$

となる。したがって，中心は $C_2(8,b)$，半径は

$$ r_2=|b-8| $$

である。

（1） $b=3$ のときの中心間距離

$b=3$ のとき，円②の中心は $C_2(8,3)$ である。

よって中心間距離 $d$ は

$$ d=\sqrt{(8-2)^2+(3-0)^2} =\sqrt{36+9} =3\sqrt{5} $$

である。

（2） $b=3$ のときの交点間の距離

$b=3$ のとき，円②は

$$ x^2+y^2-16x-6y+48=0 $$

である。

円①の式

$$ x^2+y^2-4x=0 $$

を引くと，

$$ -12x-6y+48=0 $$

すなわち

$$ 2x+y=8 $$

を得る。これは 2 円の共通弦の方程式である。

ここで

$$ y=8-2x $$

を円①に代入すると，

$$ x^2+(8-2x)^2-4x=0 $$

$$ 5x^2-36x+64=0 $$

となる。これを解くと

$$ x=\frac{36\pm 4}{10}=4,\ \frac{16}{5} $$

である。

それぞれに対して $y=8-2x$ を用いると，交点は

$$ (4,0),\ \left(\frac{16}{5},\frac{8}{5}\right) $$

である。

したがって，交点間の距離は

$$ \sqrt{\left(4-\frac{16}{5}\right)^2+\left(0-\frac{8}{5}\right)^2} =\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{8}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{80}{25}} =\frac{4}{\sqrt{5}} =\frac{4\sqrt{5}}{5} $$

である。

（3） 円②が円①の中心を通るときの $b$

円①の中心は $(2,0)$ である。これが円②上にあるから，円②の式に代入して

$$ 2^2+0^2-16\cdot 2-2b\cdot 0+16b=0 $$

$$ 4-32+16b=0 $$

$$ 16b=28 $$

$$ b=\frac{7}{4} $$

となる。

（4） 内接・外接するときの $b$

2 円の中心間距離は

$$ d=\sqrt{(8-2)^2+(b-0)^2}=\sqrt{36+b^2} $$

である。

また半径は

$$ r_1=2,\qquad r_2=|b-8| $$

である。

（i） 円①が円②に内接するとき

円①が円②の内側にあって接するので，

$$ d+r_1=r_2 $$

すなわち

$$ \sqrt{36+b^2}+2=|b-8| $$

である。

右辺は左辺より大きいので $b<8$ として

$$ \sqrt{36+b^2}+2=8-b $$

$$ \sqrt{36+b^2}=6-b $$

両辺を 2 乗すると

$$ 36+b^2=(6-b)^2=36-12b+b^2 $$

より

$$ b=0 $$

を得る。

したがって，$b=[\text{イ}]=0$ である。

（ii） 円①と円②が外接するとき

外接の条件は

$$ d=r_1+r_2 $$

すなわち

$$ \sqrt{36+b^2}=2+|b-8| $$

である。

ここで場合分けする。

**(a)**

$b\geqq 8$ のとき

$$ \sqrt{36+b^2}=2+(b-8)=b-6 $$

となるが，両辺を 2 乗すると

$$ 36+b^2=(b-6)^2=b^2-12b+36 $$

より $b=0$ となり，$b\geqq 8$ に反する。 したがってこの場合は解なしである。

**(b)**

$b<8$ のとき

$$ \sqrt{36+b^2}=2+(8-b)=10-b $$

となる。両辺を 2 乗すると

$$ 36+b^2=(10-b)^2=100-20b+b^2 $$

より

$$ 20b=64 $$

$$ b=\frac{16}{5} $$

を得る。これは確かに $b<8$ を満たす。

したがって，$b=[\text{ウ}]=\dfrac{16}{5}$ である。

解説

この問題の要点は，円②を

$$ (x-8)^2+(y-b)^2=(b-8)^2 $$

と直して，中心 $(8,b)$，半径 $|b-8|$ を正確に読むことである。 半径は $\sqrt{(b-8)^2}$ なので $b-8$ ではなく $|b-8|$ である。この絶対値を落とすと，（4） で符号を誤りやすい。

また （2） では，2 円の交点を求めるときに 2 式を引くと $x^2,y^2$ が消えて，共通弦の方程式が一次式で得られる。円どうしの交点問題で頻出の処理である。

答え

**(1)**

中心間の距離は

$$ 3\sqrt{5} $$

**(2)**

交点間の距離は

$$ \frac{4\sqrt{5}}{5} $$

**(3)**

$$ [\text{ア}]=\frac{7}{4} $$

**(4)**

$$ [\text{イ}]=0,\qquad [\text{ウ}]=\frac{16}{5} $$