解説

方針・初手

円の方程式を

$$ x^2+y^2-ax-by-c=0 $$

とおき，3点 $(0,-3)$，$(8,-1)$，$(9,0)$ がこの円上にあることを用いて $a,b,c$ を求める。 その後，平方完成して中心と半径を出す。

解法1

求める円の方程式を

$$ x^2+y^2-ax-by-c=0 $$

とする。

この円は $(0,-3)$ を通るから，

$$ 0^2+(-3)^2-a\cdot 0-b(-3)-c=0 $$

より，

$$ 9+3b-c=0 $$

すなわち

$$ c=9+3b $$

である。

また，$(8,-1)$ を通るから，

$$ 8^2+(-1)^2-8a-b(-1)-c=0 $$

より，

$$ 65-8a+b-c=0 $$

である。

さらに，$(9,0)$ を通るから，

$$ 9^2+0^2-9a-b\cdot 0-c=0 $$

より，

$$ 81-9a-c=0 $$

すなわち

$$ c=81-9a $$

である。

ここで

$$ c=9+3b,\quad c=81-9a $$

より，

$$ 9+3b=81-9a $$

したがって

$$ 3a+b=24 $$

を得る。

また，

$$ 65-8a+b-c=0 $$

に $c=81-9a$ を代入すると，

$$ 65-8a+b-(81-9a)=0 $$

すなわち

$$ a+b=16 $$

である。

よって

$$ \begin{cases} 3a+b=24\\ a+b=16 \end{cases} $$

を解けば，

$$ 2a=8 $$

より

$$ a=4 $$

これを $a+b=16$ に代入して

$$ b=12 $$

さらに

$$ c=81-9a=81-36=45 $$

である。

したがって，円の方程式は

$$ x^2+y^2-4x-12y-45=0 $$

となる。

次に平方完成すると，

$$ x^2-4x+y^2-12y=45 $$

より，

$$ (x-2)^2-4+(y-6)^2-36=45 $$

したがって

$$ (x-2)^2+(y-6)^2=85 $$

である。

よって半径は

$$ \sqrt{85} $$

である。

解説

3点を通る円は，3点が一直線上にない限り一意に定まる。 この問題では一般形

$$ x^2+y^2-ax-by-c=0 $$

をおいて，各点を代入して連立方程式を作るのが最も素直で確実である。

最後は平方完成をして中心と半径を読み取ればよい。 半径を直接求めるよりも，まず方程式を確定させてから標準形に直すほうがミスが少ない。

答え

$$ x^2+y^2-4x-12y-45=0 $$

したがって，

**(ア)**

$4$，（イウ） $12$，（エオ） $45$，（カキ） $85$

である。