解説

方針・初手

円 $D_1$ は $a$ を含む円の族である。したがって、まず式を $a$ を含む部分と含まない部分に分けると、$a$ によらない定点が求めやすい。

つぎに、$D_1$ を平方完成して中心と半径を求める。最後は、$D_1$ と $D_2$ が接する条件を用いて $a$ を決定する。

解法1

$D_1$ の方程式は

$$ x^2+y^2-6ax+2ay+20a-10=0 $$

である。これを $a$ について整理すると

$$ x^2+y^2-10+a(-6x+2y+20)=0 $$

となる。

$a$ の値に関わらず通る定点では、この式がすべての $a$ で成り立つので、

$$ \begin{cases} x^2+y^2-10=0 \\ -6x+2y+20=0 \end{cases} $$

を同時に満たす。

後式より

$$ y=3x-10 $$

であるから、これを前式に代入すると

$$ x^2+(3x-10)^2=10 $$

$$ 10x^2-60x+90=0 $$

$$ x^2-6x+9=0 $$

$$ (x-3)^2=0 $$

より

$$ x=3,\quad y=-1 $$

となる。したがって、定点は $(3,-1)$ である。

つぎに、$D_1$ を平方完成すると

$$ (x-3a)^2+(y+a)^2=10(a-1)^2 $$

となる。よって、中心を $P(s,t)$ とすると

$$ s=3a,\quad t=-a $$

であるから、

$$ s+3t=0 $$

を満たす。

また、半径は

$$ \sqrt{10(a-1)^2}=\sqrt{10}|a-1| $$

である。

最後に、$D_2$ は

$$ x^2+y^2=25 $$

であるから、$D_1$ と $D_2$ の共通点は両式の差をとって

$$ -6ax+2ay+20a+15=0 $$

を満たす。

円 $D_1,\ D_2$ が接するとき、この共通点を表す直線は円 $D_2$ の接線になる。したがって、原点からこの直線までの距離が半径 $5$ に等しい。

よって

$$ \frac{|20a+15|}{\sqrt{(-6a)^2+(2a)^2}}=5 $$

すなわち

$$ \frac{|20a+15|}{2\sqrt{10}|a|}=5 $$

である。これを整理すると

$$ |20a+15|=10\sqrt{10}|a| $$

両辺を2乗して

$$ (20a+15)^2=1000a^2 $$

$$ 400a^2+600a+225=1000a^2 $$

$$ 8a^2-8a-3=0 $$

となるので、

$$ a=\frac{8\pm\sqrt{64+96}}{16} =\frac{8\pm4\sqrt{10}}{16} =\frac{2\pm\sqrt{10}}{4} $$

である。

解説

定点を求めるときは、文字 $a$ を含む部分と含まない部分に分けるのが基本である。この問題では、$a$ の係数と定数部分をそれぞれ $0$ にすることで一意に定点が定まる。

また、中心は平方完成で直ちに求まる。中心 $(3a,-a)$ は $a$ に比例して動くので、その軌跡は直線 $s+3t=0$ になる。

接する条件は、中心間距離と半径で処理してもよいが、この問題では両円の差から出る一次式を用いて「共通弦が接線になる」と考えると計算がまとまりやすい。

答え

**(1)**

① は $(3,-1)$

**(2)**

② は $3a$、③ は $-a$、④ は $s+3t=0$

**(3)**

⑤ は $\sqrt{10}|a-1|$

**(3)**

⑥、⑦ は

$$ \frac{2-\sqrt{10}}{4},\quad \frac{2+\sqrt{10}}{4} $$

である。