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数学2 図形と式「円」の問題10 解説
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解説
方針・初手
円の一般形
$$ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 $$
から，中心は $\left(-\dfrac D2,-\dfrac E2\right)$，半径は平方完成で求まる。
（1） は原点代入で $a$ を決めればよい。 （2） は「$a$ によらず通る点」であるから，式を $a$ を含む部分と含まない部分に分け，どの $a$ に対しても成り立つ条件を立てる。 （3） は，$C_2,C_3$ の交点を通る円の族を用いるのが最も簡潔である。
解法1
**(1)**
円 $C_1$ は
$$ x^2+y^2-4ax-2ay=5-10a $$
である。これが原点 $(0,0)$ を通るので，
$$ 0=5-10a $$
より，
$$ a=\frac12 $$
である。
これを $C_1$ の式に代入すると，
$$ x^2+y^2-2x-y=0 $$
となる。平方完成すると，
$$ (x-1)^2-1+\left(y-\frac12\right)^2-\frac14=0 $$
すなわち，
$$ (x-1)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac54 $$
である。
したがって，円 $C_1$ の中心は
$$ \left(1,\frac12\right) $$
半径は
$$ \frac{\sqrt5}{2} $$
である。
**(2)**
円 $C_1$ の式を左辺にまとめると，
$$ x^2+y^2-4ax-2ay-(5-10a)=0 $$
すなわち，
$$ x^2+y^2-5+a(-4x-2y+10)=0 $$
である。
この式が $a$ の値によらず常に成り立つには，$a$ を含まない部分と $a$ の係数がそれぞれ $0$ でなければならない。よって，
$$ \begin{cases} x^2+y^2-5=0\\ -4x-2y+10=0 \end{cases} $$
すなわち，
$$ \begin{cases} x^2+y^2=5\\ 2x+y=5 \end{cases} $$
を満たす点を求めればよい。
$y=5-2x$ を代入すると，
$$ x^2+(5-2x)^2=5 $$
より，
$$ x^2+25-20x+4x^2=5 $$
したがって，
$$ 5x^2-20x+20=0 $$
$$ x^2-4x+4=0 $$
$$ (x-2)^2=0 $$
となるから，
$$ x=2,\quad y=1 $$
である。
よって定点 $A$ の座標は
$$ A(2,1) $$
である。
**(3)**
まず，$C_2,C_3$ を左辺 $=0$ の形で書くと，
$$ C_2:\ x^2+y^2-10=0 $$
$$ C_3:\ x^2+y^2-8x-6y+10=0 $$
である。
$C_2$ と $C_3$ の2つの交点を通る円の族は，
$$ \bigl(x^2+y^2-10\bigr)+\lambda\bigl((-8x-6y+20)\bigr)=0 $$
すなわち，
$$ x^2+y^2-8\lambda x-6\lambda y+(20\lambda-10)=0 $$
と表せる。
この円がさらに原点 $(0,0)$ を通るので，
$$ 20\lambda-10=0 $$
より，
$$ \lambda=\frac12 $$
である。
したがって求める円の方程式は
$$ x^2+y^2-4x-3y=0 $$
となる。これを平方完成すると，
$$ (x-2)^2-4+\left(y-\frac32\right)^2-\frac94=0 $$
よって，
$$ (x-2)^2+\left(y-\frac32\right)^2=\frac{25}{4} $$
である。
したがって，求める円の中心は
$$ \left(2,\frac32\right) $$
半径は
$$ \frac52 $$
である。
解説
（1） は「円がある点を通る」という条件から，その点の座標を代入して文字を決める典型問題である。
（2） のポイントは，「$a$ によらず通る」という条件を，$a$ の一次式が恒等的に $0$ になることとして処理する点にある。これにより，定点の条件が連立方程式に落ちる。
（3） は2円の交点を通る円の族
$$ C_2+\lambda(C_3-C_2)=0 $$
を用いるのが最短である。交点を実際に求めにいく必要はなく，さらに原点を通る条件を加えるだけで一意に定まる。
答え
**(1)**
中心は
$$ \left(1,\frac12\right) $$
半径は
$$ \frac{\sqrt5}{2} $$
である。
**(2)**
定点 $A$ の座標は
$$ (2,1) $$
である。
**(3)**
求める円の中心は
$$ \left(2,\frac32\right) $$
半径は
$$ \frac52 $$
である。