解説

方針・初手

交点 $A,B$ を通る直線 $AB$ は 2 つの円の共通弦であり，その方程式は 2 つの円の式を引くことで求まる。したがって （2） はまず直線 $AB$ の方程式を出せばよい。

また，（1） は 2 円が異なる 2 点で交わる条件を，中心間距離と半径の関係で判定するのが最も簡潔である。

最後に （3） は，（2） で得た $p,q$ の式に対して整数条件を課せばよい。

解法1

円 $C_1$ は

$$ x^2+y^2=a $$

であるから，中心は $(0,0)$，半径は $\sqrt a$ である。

円 $C_2$ は平方完成すると

$$ x^2+y^2-6x-4y+3=0 \iff (x-3)^2+(y-2)^2=10 $$

となるので，中心は $(3,2)$，半径は $\sqrt{10}$ である。

2 つの中心間距離は

$$ \sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13} $$

である。

（1） $a$ の範囲

2 円が異なる 2 点で交わるための条件は

$$ |\sqrt a-\sqrt{10}|<\sqrt{13}<\sqrt a+\sqrt{10} $$

である。

右側の不等式から

$$ \sqrt a>\sqrt{13}-\sqrt{10} $$

を得る。

また左側の不等式から

$$ \sqrt a<\sqrt{13}+\sqrt{10} $$

を得る。

よって

$$ \sqrt{13}-\sqrt{10}<\sqrt a<\sqrt{13}+\sqrt{10} $$

であり，両辺を 2 乗して

$$ (\sqrt{13}-\sqrt{10})^2<a<(\sqrt{13}+\sqrt{10})^2 $$

すなわち

$$ 23-2\sqrt{130}<a<23+2\sqrt{130} $$

となる。

（2） $p,q$ を $a$ で表す

交点 $A,B$ は両円の共通点であるから，その通る直線 $AB$ は 2 つの円の式を連立して $x^2+y^2$ を消去すれば求まる。

$C_1$ より

$$ x^2+y^2=a $$

であるから，これを $C_2$ に代入すると

$$ a-6x-4y+3=0 $$

よって直線 $AB$ は

$$ 6x+4y=a+3 $$

である。

$x$ 軸との交点を $(p,0)$ とすると，

$$ 6p=a+3 $$

より

$$ p=\frac{a+3}{6} $$

である。

同様に，$y$ 軸との交点を $(0,q)$ とすると，

$$ 4q=a+3 $$

より

$$ q=\frac{a+3}{4} $$

である。

（3） $p,q$ が共に整数となる $a$

$p,q$ がともに整数であるためには，

$$ \frac{a+3}{6},\ \frac{a+3}{4} $$

がともに整数でなければならない。したがって $a+3$ は $6$ と $4$ の公倍数，すなわち $12$ の倍数である。

よってある整数 $n$ を用いて

$$ a+3=12n $$

と書けるから，

$$ a=12n-3 $$

である。

さらに （1） の範囲

$$ 23-2\sqrt{130}<a<23+2\sqrt{130} $$

を用いる。ここで

$$ 23-2\sqrt{130}\approx 0.20,\qquad 23+2\sqrt{130}\approx 45.80 $$

であるから，

$$ 0.20<12n-3<45.80 $$

を満たす整数 $n$ は

$$ n=1,2,3,4 $$

である。

したがって

$$ a=9,21,33,45 $$

となる。

解説

この問題の本質は，交点を結ぶ直線 $AB$ が 2 円の**根軸**になっている点にある。したがって，円の式を引いて二次の項を消すのが標準手法である。

また，2 円が「異なる 2 点で交わる」という条件は，中心間距離 $d$ と半径 $r_1,r_2$ に対して

$$ |r_1-r_2|<d<r_1+r_2 $$

で処理するのが最も確実である。ここを曖昧にすると，外接・内接の場合まで含めてしまいやすい。

（3） では，$p,q$ を直接整数にする条件を考えるだけでよく，$a$ を無理に幾何的に解釈する必要はない。整数条件を「$a+3$ が $12$ の倍数」とまとめるのが要点である。

答え

**(1)**

$$ 23-2\sqrt{130}<a<23+2\sqrt{130} $$

**(2)**

$$ p=\frac{a+3}{6},\qquad q=\frac{a+3}{4} $$

**(3)**

$$ a=9,\ 21,\ 33,\ 45 $$