解説

方針・初手

まず、円 $C$ に接する直線 $l$ の方程式を求める。

次に、求める円の中心を $(a,r)$ とおく。$x$ 軸に接するので、中心の $y$ 座標はそのまま半径 $r$ になる。さらに、円 $C$ に接する条件と、直線 $l$ に接する条件を距離で表して連立すればよい。

解法1

円 $C$ は原点を中心とする半径 $1$ の円であるから、

$$ x^2+y^2=1 $$

である。

直線 $l$ の傾きは $\dfrac{\sqrt5}{2}$ なので、

$$ l:\ y=\frac{\sqrt5}{2}x+b $$

とおける。これが円 $C$ に接するから、原点から直線 $l$ までの距離は $1$ である。したがって

$$ \frac{|b|}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt5}{2}\right)^2+1}}=1 $$

より、

$$ \frac{|b|}{\sqrt{\frac54+1}}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{|b|}{\frac32}=1 \quad\Longrightarrow\quad |b|=\frac32 $$

を得る。

第2象限で円 $C$ に接するので、$y$ 切片は正でなければならない。よって

$$ b=\frac32 $$

であり、

$$ l:\ y=\frac{\sqrt5}{2}x+\frac32 $$

すなわち

$$ \sqrt5 x-2y+3=0 $$

である。

さて、求める円の中心を $(a,r)$ とする。ただし $a>0,\ r>0$ である。$x$ 軸に接するので中心の $y$ 座標は $r$ である。

この円が円 $C$ に接するから、両円の中心間距離は半径の和 $1+r$ に等しい。したがって

$$ a^2+r^2=(1+r)^2 $$

より

$$ a^2=1+2r \tag{1} $$

を得る。

また、この円が直線 $l$ に接するので、中心 $(a,r)$ から直線 $\sqrt5 x-2y+3=0$ までの距離は $r$ に等しい。よって

$$ \frac{|\sqrt5 a-2r+3|}{\sqrt{5+4}}=r $$

すなわち

$$ \frac{|\sqrt5 a-2r+3|}{3}=r $$

である。

ここで、もし $\sqrt5 a-2r+3<0$ なら

$$ -(\sqrt5 a-2r+3)=3r $$

すなわち

$$ -\sqrt5 a-3=r $$

となるが、左辺は負で右辺は正であるから不可能である。したがって

$$ \sqrt5 a-2r+3>0 $$

であり、

$$ \sqrt5 a-2r+3=3r $$

すなわち

$$ \sqrt5 a+3=5r \tag{2} $$

を得る。

(1) より $a=\sqrt{1+2r}$ であるから、これを (2) に代入して

$$ \sqrt5\sqrt{1+2r}+3=5r $$

となる。

ここで

$$ t=\sqrt{1+2r}\quad (t>0) $$

とおくと、

$$ r=\frac{t^2-1}{2} $$

であるから、上の式は

$$ \sqrt5 t+3=\frac{5(t^2-1)}{2} $$

すなわち

$$ 2\sqrt5 t+6=5t^2-5 $$

となる。整理して

$$ 5t^2-2\sqrt5 t-11=0 $$

を得る。

これを解くと

$$ \begin{aligned} t= \frac{2\sqrt5\pm\sqrt{(2\sqrt5)^2+4\cdot5\cdot11}}{10} &= \frac{2\sqrt5\pm\sqrt{240}}{10} \\ \frac{2\sqrt5\pm4\sqrt{15}}{10} \end{aligned} $$

である。$t>0$ だから

$$ t=\frac{\sqrt5+2\sqrt{15}}{5} $$

である。

したがって

$$ t^2=\frac{(\sqrt5+2\sqrt{15})^2}{25} =\frac{5+60+20\sqrt3}{25} =\frac{13+4\sqrt3}{5} $$

より

$$ r=\frac{t^2-1}{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{13+4\sqrt3}{5}-1\right) =\frac{4+2\sqrt3}{5} $$

となる。

解説

この問題の要点は、接する条件をすべて距離で表すことである。

特に、

• $x$ 軸に接する $\Rightarrow$ 中心の $y$ 座標が半径になる
• 円 $C$ に接する $\Rightarrow$ 中心間距離が半径の和になる
• 直線に接する $\Rightarrow$ 中心から直線までの距離が半径になる

という3つの条件を正確に式に直せばよい。

また、直線 $l$ の切片の符号は「第2象限で接する」という条件で決まる。ここを曖昧にすると、以後の計算がずれるので注意が必要である。

答え

求める円の半径は

$$ \frac{4+2\sqrt3}{5} $$

である。