解説

方針・初手

円 $x^2+y^2=a^2$ の円周上の点 $(u,v)$ における接線は

$$ ux+vy=a^2 $$

と表せる。

これを用いて、まず接線と $x$ 軸との交点 $P$ を求める。次に、外部点 $(b,c)$ から引いた接線の接点を一般に $(u,v)$ とおくと、その接線が $(b,c)$ を通ることから $bu+cv=a^2$ が得られる。これにより $Q,R$ が同一直線上にあることが分かる。

解法1

円 $x^2+y^2=a^2$ の円周上の点 $(u,v)$ における接線は

$$ ux+vy=a^2 $$

である。

実際、原点からこの直線までの距離は

$$ \begin{aligned} \frac{a^2}{\sqrt{u^2+v^2}} &= \frac{a^2}{a} \\ a \end{aligned} $$

であり、円の半径と一致するので、この直線は円に接する。

まず、点 $\left(b,\sqrt{a^2-b^2}\right)$ における接線は

$$ bx+\sqrt{a^2-b^2}\,y=a^2 $$

である。

これと $x$ 軸 $y=0$ との交点を $P$ とすると、

$$ bx=a^2 $$

より

$$ P\left(\frac{a^2}{b},0\right) $$

である。

次に、外部点 $(b,c)$ からこの円に引いた接線の接点を一般に $(u,v)$ とする。このとき、その接線は

$$ ux+vy=a^2 $$

であり、点 $(b,c)$ はこの接線上にあるから、

$$ bu+cv=a^2 $$

が成り立つ。

したがって、外部点 $(b,c)$ から引いた接線の接点はすべて

$$ bx+cy=a^2 $$

を満たす。

特に、2つの接点 $Q,R$ はともにこの直線上にあるので、直線 $QR$ は

$$ bx+cy=a^2 $$

である。

ここで、先に求めた $P\left(\dfrac{a^2}{b},0\right)$ を代入すると、

$$ b\cdot \frac{a^2}{b}+c\cdot 0=a^2 $$

となるから、$P$ は直線 $bx+cy=a^2$ 上にある。

よって、直線 $QR$ は $P$ を通る。

解説

この問題の要点は、「円周上の点における接線の方程式」を正しく使うことである。

外部点 $(b,c)$ から引いた接線の接点を $(u,v)$ とすると、接線が $(b,c)$ を通る条件から $bu+cv=a^2$ が出る。つまり、接点 $Q,R$ は最初から一直線 $bx+cy=a^2$ 上にある。あとは、その直線に $P$ が乗ることを確かめればよい。

答え

接線と $x$ 軸との交点は

$$ P\left(\frac{a^2}{b},0\right) $$

である。

また、外部点 $(b,c)$ から引いた2本の接線の接点 $Q,R$ はともに

$$ bx+cy=a^2 $$

を満たすので、直線 $QR$ はこの直線である。

そして

$$ b\cdot \frac{a^2}{b}+c\cdot 0=a^2 $$

より $P$ は直線 $QR$ 上にある。したがって、2点 $Q,R$ を通る直線は $P$ を通る。