解説

方針・初手

$A$ は円の内部、$B$ は放物線の下側、$C$ は直線である。

まず各図形の境界を確認すると、直線 $C$ は常に点 $(-1,0)$ を通る。また、円の境界と放物線もともに $(-1,0)$ を通る。したがって、$C$ が円内部に入る向きと、$C$ が放物線の下側に入る向きが一致する条件を調べればよい。

そのために、直線 $C$ 上の点を媒介変数で表す。

解法1

直線 $C$ は

$$ y-ax-a=0 $$

より

$$ y=a(x+1) $$

である。ここで

$$ t=x+1 $$

とおくと、$C$ 上の点は

$$ (x,y)=(t-1,at) $$

と表される。$t=0$ のとき、点は $(-1,0)$ である。

円 $A$ との関係

$A$ は

$$ x^2+y^2-2y-1<0 $$

すなわち

$$ x^2+(y-1)^2<2 $$

である。これに $(x,y)=(t-1,at)$ を代入すると、

$$ (t-1)^2+(at-1)^2<2 $$

となる。整理して

$$ t^2-2t+1+a^2t^2-2at+1<2 $$

$$ (1+a^2)t^2-2(1+a)t<0 $$

$$ t{(1+a^2)t-2(1+a)}<0 $$

となる。

したがって、直線 $C$ が円 $A$ の内部にあるのは、$t=0$ と

$$ t=\frac{2(1+a)}{1+a^2} $$

の間である。よって、$C$ 上で $A$ に入る向きは

$$ \frac{2(1+a)}{1+a^2} $$

の符号で決まる。

放物線の下側 $B$ との関係

$B$ は

$$ y+x^2-1\leqq 0 $$

すなわち

$$ y\leqq 1-x^2 $$

である。これに $(x,y)=(t-1,at)$ を代入すると、

$$ at+(t-1)^2-1\leqq 0 $$

$$ at+t^2-2t\leqq 0 $$

$$ t(t+a-2)\leqq 0 $$

となる。

したがって、直線 $C$ が $B$ に含まれるのは、$t=0$ と

$$ t=2-a $$

の間である。よって、$C$ 上で $B$ に入る向きは $2-a$ の符号で決まる。

共通部分が空でない条件

$A\cap B\cap C\neq \phi$ となるには、直線 $C$ 上で

• 円 $A$ の内部に入る向き
• 領域 $B$ に入る向き

が一致し、しかも $(-1,0)$ 以外の点をもたねばならない。

よって必要十分条件は

$$ \frac{2(1+a)}{1+a^2}(2-a)>0 $$

である。ここで $1+a^2>0$ だから、

$$ (1+a)(2-a)>0 $$

となる。したがって

$$ -1<a<2 $$

を得る。

解説

この問題の要点は、3つの集合をそのまま同時に扱おうとせず、まず直線 $C$ 上に制限して1変数の問題に落とすことである。

点 $(-1,0)$ は円の境界・放物線・直線の共通点であるから、あとはその点から見て直線がどちら側へ進むと円内部に入り、どちら側へ進むと放物線の下側に入るかを比べればよい。媒介変数 $t=x+1$ を用いると、その判定が非常に簡潔になる。

答え

$$ -1<a<2 $$

したがって、

**(ア)**

$=-1$、（イ） $=2$ である。