解説

方針・初手

直線と円が共有点をもつための必要十分条件は、円の中心から直線までの距離が半径以下であることである。

この問題では円の中心は原点 $(0,0)$ なので、まず直線 $y=m(x-4)+3$ を一般形に直し、原点からの距離を $m$ で表す。

解法1

直線 $y=m(x-4)+3$ を整理すると、

$$ mx-y-4m+3=0 $$

となる。

原点 $(0,0)$ からこの直線までの距離 $d$ は、

$$ d=\frac{|3-4m|}{\sqrt{m^2+1}} $$

である。

円 $x^2+y^2=r^2$ とこの直線が共有点をもつための条件は、

$$ \frac{|3-4m|}{\sqrt{m^2+1}} \leqq r $$

である。

ここで、問題文より共有点をもつ $m$ の範囲が

$$ 0 \leqq m \leqq [エ] $$

となる。

もし $r>3$ なら、$m=0$ のとき原点から直線 $y=3$ までの距離は $3$ であるから、$m=0$ の近くの負の値についても不等式を満たしてしまい、$m$ の範囲は $0$ より左にも広がる。したがって、範囲の左端がちょうど $0$ になるためには

$$ r=3 $$

でなければならない。

よって $r=3$ を代入すると、条件は

$$ \frac{|3-4m|}{\sqrt{m^2+1}} \leqq 3 $$

である。両辺とも非負なので両辺を2乗してよい。

$$ (3-4m)^2 \leqq 9(m^2+1) $$

展開すると、

$$ 9-24m+16m^2 \leqq 9m^2+9 $$

$$ 7m^2-24m \leqq 0 $$

$$ m(7m-24)\leqq 0 $$

したがって、

$$ 0\leqq m\leqq \frac{24}{7} $$

となる。

よって

$$ [エ]=\frac{24}{7},\qquad [オ]=3 $$

である。

解説

この問題の本質は、円と直線の共有点条件を「中心と直線の距離」で処理することである。

実際に座標を連立して判別式を用いても解けるが、距離を使うと計算が短く、$m$ の範囲の端がどこで決まるかも見やすい。

特に、$m=0$ のときの直線は $y=3$ であり、原点からの距離が $3$ である。範囲の左端がちょうど $0$ になっていることから、半径 $r$ はまず $3$ と決まる。この見抜きが重要である。

答え

$$ [エ]=\frac{24}{7},\qquad [オ]=3 $$