解説

方針・初手

円 $x^2+y^2=2$ の中心は原点 $O$、半径は $\sqrt{2}$ である。

まず、直線 $y=2x+k$ を円に代入して共有点が異なる2点となる条件を調べる。 次に、$\triangle OAB$ の面積は、弦 $AB$ と中心 $O$ の関係を用いて

$$ \frac12 \times AB \times (\text{点 }O\text{ から直線 }AB\text{ への距離}) $$

で表すと処理しやすい。

解法1

（1） 共有点が異なる2点となるための $k$ の範囲を求める。

直線 $y=2x+k$ を円 $x^2+y^2=2$ に代入すると、

$$ x^2+(2x+k)^2=2 $$

より

$$ 5x^2+4kx+k^2-2=0 $$

を得る。

共有点が異なる2点であるためには、この2次方程式が異なる2実根をもてばよい。したがって判別式を $D$ とすると

$$ D=(4k)^2-4\cdot 5\cdot (k^2-2) =16k^2-20k^2+40 =40-4k^2 $$

であり、

$$ D>0 $$

より

$$ 40-4k^2>0 $$

すなわち

$$ k^2<10 $$

である。よって

$$ -\sqrt{10}<k<\sqrt{10} $$

となる。

**(2)**

$\triangle OAB$ の面積の最大値を求め、そのときの $k$ を求める。

直線 $y=2x+k$ を

$$ 2x-y+k=0 $$

とみると、原点 $O(0,0)$ からこの直線までの距離を $d$ として

$$ d=\frac{|k|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|k|}{\sqrt{5}} $$

である。

円の半径は $\sqrt{2}$ なので、弦 $AB$ の長さは

$$ AB=2\sqrt{(\sqrt{2})^2-d^2} =2\sqrt{2-d^2} $$

となる。

したがって、$\triangle OAB$ の面積を $S$ とすると

$$ S=\frac12 \cdot AB \cdot d =\frac12 \cdot 2\sqrt{2-d^2}\cdot d =d\sqrt{2-d^2} $$

である。

ここで $0\le d<\sqrt{2}$ であるから、$S^2$ を考えると

$$ S^2=d^2(2-d^2) $$

となる。$t=d^2$ とおくと $0\le t<2$ で

$$ S^2=t(2-t)=2t-t^2=1-(t-1)^2 $$

であるから、最大値は $t=1$ のときにとる。

よって

$$ S^2_{\max}=1 $$

より

$$ S_{\max}=1 $$

である。

また、このとき $d^2=1$ なので

$$ \left(\frac{|k|}{\sqrt{5}}\right)^2=1 $$

すなわち

$$ k^2=5 $$

より

$$ k=\pm \sqrt{5} $$

である。

解説

この問題の本質は、円と直線の位置関係を「判別式」と「中心から直線までの距離」で捉えることである。

（1） では、直線を円に代入してできる2次方程式が異なる2実根をもつ条件を使えばよい。

（2） では、$A,B$ の座標を直接求めて面積を計算することもできるが、円の中心が原点であることから、弦 $AB$ の長さと中心から弦までの距離を使うのが最も自然である。 面積を $d\sqrt{2-d^2}$ と置ければ、あとは2次関数の最大値の問題に帰着する。

答え

**(1)**

$$ -\sqrt{10}<k<\sqrt{10} $$

**(2)**

面積の最大値は

$$ 1 $$

そのときの $k$ は

$$ k=\pm \sqrt{5} $$