基礎問題集
数学2 図形と式「円と直線」の問題6 解説
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解説
方針・初手
接点を $A(a,b)$ とおくと、円 $x^2+y^2=5$ の点 $(a,b)$ における接線は
$$ ax+by=5 $$
と表せる。
この接線は点 $(3,1)$ を通るので、$a,b$ はある一次関係を満たす。これを用いれば、接点 $A,B$ がともに乗る直線、すなわち直線 $AB$ が求まる。
解法1
接点 $A(a,b)$ は円 $x^2+y^2=5$ 上の点であるから、
$$ a^2+b^2=5 $$
を満たす。
円 $x^2+y^2=5$ における点 $A(a,b)$ での接線の方程式は
$$ ax+by=5 $$
である。
この接線は点 $(3,1)$ を通るから、
$$ 3a+b=5 $$
が成り立つ。
つまり、接点 $A$ は直線
$$ 3x+y=5 $$
上にある。
同様に、もう一つの接点 $B$ についても、その接線は点 $(3,1)$ を通るので、$B$ もまた
$$ 3x+y=5 $$
上にある。
したがって、2点 $A,B$ を通る直線 $AB$ の方程式は
$$ 3x+y=5 $$
である。
これを $y$ について解けば、
$$ y=-3x+5 $$
となる。
解説
円 $x^2+y^2=r^2$ において、円周上の点 $(a,b)$ での接線が $ax+by=r^2$ になることを使うのが最短である。
接点 $A,B$ は「点 $(3,1)$ から引いた接線の接点」であるから、それぞれの座標は接線が $(3,1)$ を通る条件を満たす。したがって両方の接点が同じ直線 $3x+y=5$ 上にあり、その直線こそが $AB$ である。
答え
$$ y=-3x+5 $$
したがって、$-3x+5$ である。