解説

方針・初手

接点 $T$ では半径 $OT$ と接線 $PT$ が直交するので、$\triangle OPT$ は直角三角形になる。したがって $PT$ の長さは $OP$ から求まる。

また、円 $D$ は中心が $P$、半径が $PT$ であり、点 $A(a,0)$ を通るので、$PA=PT$ を用いれば $a,p,q$ の関係式が得られる。

解法1

まず、$T$ は円 $C$ の接点であるから、

$$ OT \perp PT $$

である。しかも $C$ は原点中心、半径 $1$ の円であるから、

$$ OT=1 $$

であり、また

$$ OP^2=p^2+q^2 $$

である。

よって直角三角形 $OPT$ に三平方の定理を用いると、

$$ PT^2=OP^2-OT^2=(p^2+q^2)-1=p^2+q^2-1 $$

となる。

一方、円 $D$ は中心が $P(p,q)$、半径が $PT$ の円であり、点 $A(a,0)$ を通るから、

$$ PA=PT $$

である。したがって

$$ PA^2=PT^2 $$

より、

$$ (a-p)^2+(0-q)^2=p^2+q^2-1 $$

すなわち

$$ (a-p)^2+q^2=p^2+q^2-1 $$

となるので、$q^2$ を消去して

$$ (a-p)^2=p^2-1 $$

を得る。これで （1） が示された。

次に （2） を考える。上の式を展開すると、

$$ a^2-2ap+p^2=p^2-1 $$

より

$$ a^2-2ap+1=0 $$

である。これを $p$ について解くと、

$$ 2ap=a^2+1 $$

すなわち

$$ p=\frac{a^2+1}{2a}=\frac12\left(a+\frac1a\right) $$

となる。

ここで $0<a<1$ だから $\dfrac1a>1$ であり、

$$ a+\frac1a>2 $$

である。よって

$$ p=\frac12\left(a+\frac1a\right)>1 $$

が従う。

さらに、$a^2-2ap+1=0$ を $a$ について解くと、

$$ a=p\pm\sqrt{p^2-1} $$

を得る。

ここで $p>1$ なので $\sqrt{p^2-1}>0$ である。また

$$ p+\sqrt{p^2-1}>1 $$

であるから、条件 $0<a<1$ を満たすのは

$$ a=p-\sqrt{p^2-1} $$

のみである。

したがって、求める表示は

$$ a=p-\sqrt{p^2-1} $$

である。

解説

この問題の本質は、接線と半径が直交することから $PT^2=OP^2-1$ を出す点にある。そこから、円 $D$ の半径が $PT$ であることと、$A$ が円 $D$ 上にあることを結びつければ、$PA^2=PT^2$ により $a$ と $p$ の関係式が一気に得られる。

（2） では、まず $p=\dfrac12\left(a+\dfrac1a\right)$ を作ると $p>1$ はすぐに従う。その後は二次方程式として解き、条件 $0<a<1$ に合う符号を選べばよい。

答え

**(1)**

$$ (a-p)^2=p^2-1 $$

**(2)**

$$ p=\frac12\left(a+\frac1a\right)>1 $$

したがって

$$ a=p-\sqrt{p^2-1} $$

である。