解説

方針・初手

円の中心が $P$ であるから，$\triangle PQR$ の面積は，弦 $QR$ の長さと，中心 $P$ から直線 $QR$ への距離を使って表せる。

したがって，まず直線 $y=a(x+1)$ と点 $P(0,1)$ との距離を求め，その距離から弦の長さを出す。

解法1

直線 $y=a(x+1)$ を標準形に直すと

$$ ax-y+a=0 $$

である。

点 $P(0,1)$ からこの直線までの距離を $d$ とすると，

$$ d=\frac{|a-1|}{\sqrt{a^2+1}} $$

となる。ここで $0<a<1$ であるから $a-1<0$ より，

$$ d=\frac{1-a}{\sqrt{1+a^2}} $$

である。

半径は $1$ であるから，中心から距離 $d$ にある弦の長さは

$$ QR=2\sqrt{1-d^2} $$

である。よって，$\triangle PQR$ の面積 $S(a)$ は

$$ S(a)=\frac12 \cdot QR \cdot d =\frac12 \cdot 2\sqrt{1-d^2}\cdot d =d\sqrt{1-d^2} $$

となる。

ここで

$$ d^2=\frac{(1-a)^2}{1+a^2} $$

なので，

$$ 1-d^2 =1-\frac{(1-a)^2}{1+a^2} =\frac{1+a^2-(1-2a+a^2)}{1+a^2} =\frac{2a}{1+a^2} $$

である。したがって，

$$ S(a) =\frac{1-a}{\sqrt{1+a^2}}\sqrt{\frac{2a}{1+a^2}} =\frac{(1-a)\sqrt{2a}}{1+a^2} $$

を得る。

これが （1） の答えである。

次に （2） を考える。

$0<a<1$ より $0<d<1$ であり，

$$ S(a)=d\sqrt{1-d^2} $$

であるから，$x=d$ とおいて

$$ S(a)^2=x^2(1-x^2) \qquad (0<x<1) $$

を最大にすればよい。

すると

$$ x^2(1-x^2) =\frac14-\left(x^2-\frac12\right)^2 $$

であるから，最大値は $\dfrac14$ であり，そのとき

$$ x^2=\frac12 $$

すなわち

$$ d=\frac{1}{\sqrt2} $$

である。

したがって

$$ \frac{1-a}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{1}{\sqrt2} $$

より，

$$ 2(1-a)^2=1+a^2 $$

すなわち

$$ 2-4a+2a^2=1+a^2 $$

だから

$$ a^2-4a+1=0 $$

となる。これを解くと

$$ a=2\pm\sqrt3 $$

であるが，$0<a<1$ より

$$ a=2-\sqrt3 $$

である。

このとき

$$ S(a)=\frac12 $$

となる。

解説

交点 $Q,R$ を実際に座標計算で求めることもできるが，この問題ではそれは遠回りである。

中心 $P$ から弦 $QR$ までの距離を $d$ とみれば，弦の長さは $2\sqrt{1-d^2}$ とすぐに分かるので，面積は

$$ \frac12 \cdot QR \cdot d $$

で一気に処理できる。

最大化でも，$a$ の式を直接微分するより，いったん $d$ に直して

$$ S=d\sqrt{1-d^2} $$

とみると，平方完成で簡潔に最大値まで決まる。この置き換えがこの問題の要点である。

答え

**(1)**

$$ S(a)=\frac{(1-a)\sqrt{2a}}{1+a^2} $$

**(2)**

$$ S(a) $$

が最大となるのは

$$ a=2-\sqrt3 $$

であり，そのときの最大値は

$$ \frac12 $$

である。