解説

方針・初手

まず平方完成して、円 $C$ の中心と半径を $m$ で表す。

ついで、直線 $y=2x-1$ と円 $C$ が共有点をもつ条件は、「円の中心から直線までの距離」が「半径以下」であることを用いる。これにより $m$ の範囲を不等式で処理できる。

解法1

与式を平方完成すると、

$$ x^2-2mx+y^2+2my+3m^2-2m-5=0 $$

より、

$$ (x-m)^2+(y+m)^2=-m^2+2m+5 $$

となる。

したがって、円 $C$ の中心は $(m,-m)$、半径の2乗は

$$ r^2=-m^2+2m+5 $$

である。

円を表すためには半径が正であること、すなわち $r^2>0$ が必要であるから、

$$ -m^2+2m+5>0 $$

$$ m^2-2m-5<0 $$

$$ (m-1)^2<6 $$

よって、

$$ 1-\sqrt{6}<m<1+\sqrt{6} $$

である。したがって、

$$ [ア]=1-\sqrt{6},\qquad [イ]=1+\sqrt{6} $$

となる。

次に、直線 $y=2x-1$ を標準形に直すと

$$ 2x-y-1=0 $$

である。

中心 $(m,-m)$ からこの直線までの距離 $d$ は、

$$ d=\frac{|2m-(-m)-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} =\frac{|3m-1|}{\sqrt{5}} $$

である。

円 $C$ と直線 $y=2x-1$ が共有点をもつ条件は $d\le r$、すなわち

$$ \frac{|3m-1|}{\sqrt{5}}\le \sqrt{-m^2+2m+5} $$

である。

両辺を2乗すると、

$$ \frac{(3m-1)^2}{5}\le -m^2+2m+5 $$

$$ 9m^2-6m+1\le -5m^2+10m+25 $$

$$ 14m^2-16m-24\le 0 $$

$$ 7m^2-8m-12\le 0 $$

この2次不等式の解は、方程式

$$ 7m^2-8m-12=0 $$

の解

$$ m=\frac{8\pm\sqrt{64+336}}{14} =\frac{8\pm 20}{14} $$

すなわち

$$ m=-\frac67,\ 2 $$

を用いて、

$$ -\frac67\le m\le 2 $$

である。

これは先に求めた円を表す範囲 $1-\sqrt6<m<1+\sqrt6$ の内部に含まれているので、そのまま

$$ [ウ]=-\frac67,\qquad [エ]=2 $$

となる。

さらに、$m=[エ]=2$ のとき、中心は $(2,-2)$ であるから、中心と直線 $y=2x-1$ との距離は

$$ \frac{|2\cdot 2-(-2)-1|}{\sqrt5} =\frac{5}{\sqrt5} =\sqrt5 $$

である。したがって、

$$ [オ]=\sqrt5 $$

である。

解説

この問題の要点は、文字を含む円の方程式でも、まず平方完成して中心と半径を明確にすることである。

また、直線と円の共有点の条件を、連立して判別式で処理することもできるが、中心から直線までの距離と半径を比較する方法の方が計算が整理しやすい。特に「共有点をもつ」は接する場合も含むため、不等号は $<$ ではなく $\le$ になる点に注意すべきである。

答え

$$ [ア]=1-\sqrt6,\qquad [イ]=1+\sqrt6,\qquad [ウ]=-\frac67,\qquad [エ]=2,\qquad [オ]=\sqrt5 $$