解説

方針・初手

円の方程式はまず平方完成して、中心と半径を求める。

そのうえで、直線 $l:y=mx$ と円の位置関係は、円の中心 $(2,2)$ から直線 $mx-y=0$ までの距離を用いると整理しやすい。 2点で交わる条件は「中心から直線までの距離 $<$ 半径」、切り取られる弦の長さが $2$ である条件は、中心から弦までの距離と半径の関係を使えばよい。

解法1

円 $C$ の方程式を平方完成すると、

$$ x^2-4x+y^2-4y+6=0 $$

より、

$$ (x-2)^2-4+(y-2)^2-4+6=0 $$

したがって、

$$ (x-2)^2+(y-2)^2=2 $$

となる。

よって、円 $C$ の中心は $(2,2)$、半径は $\sqrt{2}$ である。

次に、直線 $l:y=mx$ を

$$ mx-y=0 $$

とみる。 円の中心 $(2,2)$ からこの直線までの距離を $d$ とすると、

$$ d=\frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{2|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} $$

である。

（2） 直線 $l$ が円 $C$ と異なる2点で交わるための条件は、

$$ d<\sqrt{2} $$

である。したがって、

$$ \frac{2|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}<\sqrt{2} $$

両辺は正なので2乗してよい。

$$ \frac{4(m-1)^2}{m^2+1}<2 $$

$$ 4(m-1)^2<2(m^2+1) $$

$$ 2(m^2-2m+1)<m^2+1 $$

$$ m^2-4m+1<0 $$

これを解くと、

$$ m=2\pm\sqrt{3} $$

を境にして

$$ 2-\sqrt{3}<m<2+\sqrt{3} $$

となる。

（3） 円 $C$ によって切り取られる線分は弦であり、その長さが $2$ であるとする。 半径を $r=\sqrt{2}$、中心から直線までの距離を $d$ とすると、弦の長さ $L$ は

$$ L=2\sqrt{r^2-d^2} $$

で与えられる。ここで $L=2$ だから、

$$ 2\sqrt{r^2-d^2}=2 $$

$$ \sqrt{r^2-d^2}=1 $$

$$ r^2-d^2=1 $$

半径 $r=\sqrt{2}$ より $r^2=2$ なので、

$$ 2-d^2=1 $$

$$ d^2=1 $$

したがって、

$$ d=1 $$

である。よって

$$ \frac{2|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=1 $$

両辺を2乗すると、

$$ \frac{4(m-1)^2}{m^2+1}=1 $$

$$ 4(m-1)^2=m^2+1 $$

$$ 4(m^2-2m+1)=m^2+1 $$

$$ 3m^2-8m+3=0 $$

これを解くと、

$$ m=\frac{8\pm\sqrt{64-36}}{6} =\frac{8\pm2\sqrt{7}}{6} =\frac{4\pm\sqrt{7}}{3} $$

となる。

解説

この問題の要点は、円の方程式を標準形に直して中心と半径を把握したあと、直線との位置関係を「中心から直線までの距離」で処理することである。

特に （2） では、連立して判別式を調べてもよいが、距離を使うと「2点で交わる」「接する」「交わらない」の区別がそのまま不等式になるので見通しがよい。

また （3） では、弦の長さと中心から弦までの距離の関係

$$ \text{弦の長さ}=2\sqrt{r^2-d^2} $$

を使うのが典型である。半径と弦の半分で直角三角形ができることを押さえておくと処理しやすい。

答え

**(1)**

中心は $(2,2)$、半径は $\sqrt{2}$ である。

**(2)**

$$ 2-\sqrt{3}<m<2+\sqrt{3} $$

**(3)**

$$ m=\frac{4-\sqrt{7}}{3},\ \frac{4+\sqrt{7}}{3} $$