解説

方針・初手

点 $(7,1)$ を通る直線を傾き $m$ を用いて表し，それが円 $x^2+y^2=25$ に接する条件を，原点から直線までの距離が半径 $5$ に等しいことから立てる。

接線が求まれば，接点は「円の中心からその接線に下ろした垂線の足」であるから，直線の法線方向を用いてすぐに求められる。

最後の円は，3点を通る円の方程式

$$ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 $$

を立てて定めればよい。

解法1

点 $(7,1)$ を通る直線を

$$ y-1=m(x-7) $$

とおく。

これを整理すると

$$ mx-y+(1-7m)=0 $$

である。

この直線が円 $x^2+y^2=25$ に接するための条件は，原点 $(0,0)$ から直線までの距離が半径 $5$ に等しいことである。したがって

$$ \frac{|1-7m|}{\sqrt{m^2+1}}=5 $$

となる。両辺を2乗すると

$$ (1-7m)^2=25(m^2+1) $$

すなわち

$$ 1-14m+49m^2=25m^2+25 $$

より

$$ 24m^2-14m-24=0 $$

となる。これを整理して

$$ 12m^2-7m-12=0 $$

であり，因数分解すると

$$ (3m-4)(4m+3)=0 $$

だから

$$ m=-\frac34,\ \frac43 $$

である。

したがって接線はそれぞれ

**(i)**

$m=-\dfrac34$ のとき

$$ y-1=-\frac34(x-7) $$

より

$$ 3x+4y=25 $$

**(ii)**

$m=\dfrac43$ のとき

$$ y-1=\frac43(x-7) $$

より

$$ 4x-3y=25 $$

である。

次に接点を求める。

円 $x^2+y^2=25$ の中心は原点であるから，接点は原点から各接線に下ろした垂線の足である。

直線 $3x+4y=25$ の法線ベクトルは $(3,4)$ であり，

$$ 3^2+4^2=25 $$

なので，この直線と円の接点は

$$ (3,4) $$

である。

同様に，直線 $4x-3y=25$ の法線ベクトルは $(4,-3)$ であり，

$$ 4^2+(-3)^2=25 $$

なので，接点は

$$ (4,-3) $$

である。

$x$ 座標の小さい方から並べると，

$$ (3,4),\ (4,-3) $$

となる。

最後に，この2点 $(3,4),(4,-3)$ と点 $(7,1)$ を通る円を求める。

円の方程式を

$$ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 $$

とおくと，3点を代入して

$$ \begin{aligned} (3,4):&\ 25+3D+4E+F=0 \\ (4,-3):&\ 25+4D-3E+F=0 \\ (7,1):&\ 50+7D+E+F=0 \end{aligned} $$

を得る。

上2式の差より

$$ D-7E=0 $$

すなわち

$$ D=7E $$

である。

また，第1式と第3式の差より

$$ 25+4D-3E=0 $$

ここに $D=7E$ を代入すると

$$ 25+28E-3E=0 $$

より

$$ 25E=-25 $$

したがって

$$ E=-1,\quad D=-7 $$

となる。これを第1式に代入して

$$ 25-21-4+F=0 $$

より

$$ F=0 $$

である。

よって円の方程式は

$$ x^2+y^2-7x-y=0 $$

これを平方完成すると

$$ \left(x-\frac72\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac{25}{2} $$

である。

解説

接線の問題では，円の中心から直線までの距離を使うのが基本である。今回は円の中心が原点なので，距離公式がそのまま使えて計算が素直である。

また，接点は接線の法線方向にある。したがって，接線の式が $3x+4y=25$ や $4x-3y=25$ と出た段階で，接点がそれぞれ $(3,4)$，$(4,-3)$ とすぐ読めるのが重要である。

3点を通る円は，中心を幾何的に求めてもよいが，一般形を立てて代入する方法が最も確実である。

答え

$$ [ア]=3,\ [イ]=4,\ [ウ]=4,\ [エ]=3 $$

$$ [オ]=(3,4),\ [カ]=(4,-3) $$

$$ [キ]=\frac72,\ [ク]=\frac12,\ [ケ]=\frac{25}{2} $$

したがって，

$$ 3x+4y=25,\quad 4x-3y=25 $$

および

$$ \left(x-\frac72\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac{25}{2} $$

である。