解説

方針・初手

直線 $l$ を

$$ y=a(x-3)+4 $$

と見ると，$a$ が変わっても常に通る点がすぐに分かる。

また，円 $C$ は

$$ x^2+y^2-2x-2y=0 $$

を平方完成して，中心と半径を求める。以後は，直線と円の位置関係を，円の中心から直線までの距離で判定するのが最も素直である。

解法1

**(1)**

直線 $l$ は

$$ y=a(x-3)+4 $$

と書ける。

したがって，$x=3$ とすると，$a$ の値によらず

$$ y=4 $$

となる。よって，直線 $l$ は常に定点

$$ P(3,4) $$

を通る。

**(2)**

円 $C$ の方程式を平方完成すると，

$$ (x-1)^2+(y-1)^2=2 $$

となる。したがって，円 $C$ の中心は $(1,1)$，半径は $\sqrt{2}$ である。

一方，直線 $l$ を一般形で表すと，

$$ ax-y-3a+4=0 $$

である。

円の中心 $(1,1)$ から直線 $l$ までの距離を $d$ とすると，

$$ d=\frac{|a\cdot 1-1-3a+4|}{\sqrt{a^2+1}} =\frac{|3-2a|}{\sqrt{a^2+1}} $$

である。

この距離と半径 $\sqrt{2}$ を比べれば，共有点の個数が分かる。

共有点が $2$ 個であるのは

$$ d<\sqrt{2} $$

のときであり，これは

$$ \frac{(3-2a)^2}{a^2+1}<2 $$

$$ (3-2a)^2<2(a^2+1) $$

$$ 4a^2-12a+9<2a^2+2 $$

$$ 2a^2-12a+7<0 $$

と同値である。

ここで，

$$ 2a^2-12a+7=0 $$

を解くと，

$$ a=\frac{12\pm\sqrt{144-56}}{4} =\frac{12\pm\sqrt{88}}{4} =3\pm\frac{\sqrt{22}}{2} $$

となる。したがって，

$$ 2a^2-12a+7<0 $$

となるのは

$$ 3-\frac{\sqrt{22}}{2}<a<3+\frac{\sqrt{22}}{2} $$

のときである。

また，

$$ d=\sqrt{2} $$

すなわち

$$ a=3\pm\frac{\sqrt{22}}{2} $$

のときは接するので，共有点は $1$ 個である。

それ以外のときは，共有点は $0$ 個である。

**(3)**

円の半径を $r$，中心から直線までの距離を $d$，円によって切り取られる線分の長さを $L$ とすると，

$$ L=2\sqrt{r^2-d^2} $$

である。

この問題では $r=\sqrt{2}$，$L=1$ だから，

$$ 1=2\sqrt{2-d^2} $$

$$ \sqrt{2-d^2}=\frac{1}{2} $$

$$ 2-d^2=\frac{1}{4} $$

$$ d^2=\frac{7}{4} $$

となる。

したがって，

$$ \left(\frac{|3-2a|}{\sqrt{a^2+1}}\right)^2=\frac{7}{4} $$

すなわち

$$ \frac{(3-2a)^2}{a^2+1}=\frac{7}{4} $$

である。これを解くと，

$$ 4(3-2a)^2=7(a^2+1) $$

$$ 4(9-12a+4a^2)=7a^2+7 $$

$$ 36-48a+16a^2=7a^2+7 $$

$$ 9a^2-48a+29=0 $$

となる。

よって，

$$ a=\frac{48\pm\sqrt{48^2-4\cdot 9\cdot 29}}{18} =\frac{48\pm\sqrt{1260}}{18} =\frac{48\pm 6\sqrt{35}}{18} =\frac{8\pm\sqrt{35}}{3} $$

を得る。

このとき

$$ d^2=\frac{7}{4}<2=r^2 $$

であるから，確かに直線は円と $2$ 点で交わっている。

解説

この問題の要点は，直線を

$$ y=a(x-3)+4 $$

と見て定点を読むことと，円を平方完成して中心・半径を明確にすることである。

（2） では，直線と円の共有点の個数を直接連立して調べるよりも，中心から直線までの距離と半径を比較する方がはるかに整理しやすい。

（3） でも同様に，交点そのものを求める必要はなく，弦の長さ

$$ 2\sqrt{r^2-d^2} $$

の公式を使えば，$a$ についての方程式に直ちに持ち込める。

答え

**(1)**

$P=(3,4)$

**(2)**

共有点の個数は，

$$ \begin{cases} 2個 & \left(3-\dfrac{\sqrt{22}}{2}<a<3+\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right)\\ 1個 & \left(a=3-\dfrac{\sqrt{22}}{2},\ 3+\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right)\\ 0個 & \left(a<3-\dfrac{\sqrt{22}}{2}\ \text{または}\ a>3+\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right) \end{cases} $$

**(3)**

$$ a=\frac{8-\sqrt{35}}{3},\ \frac{8+\sqrt{35}}{3} $$