解説

方針・初手

直線 $l$ を

$$ y-4=a(x-3) $$

と変形すると、$a$ が変わっても常に通る点がただちに分かる。

また、円 $C$ は平方完成して中心と半径を求め、中心から直線 $l$ までの距離を用いれば、共有点の個数も弦の長さも統一的に処理できる。

解法1

**(1)**

直線 $l$ は

$$ y=ax-3a+4 $$

であるから、

$$ y-4=a(x-3) $$

と書ける。

したがって、$x=3$ のとき常に $y=4$ となるので、$a$ の値によらず直線 $l$ は定点

$$ P(3,4) $$

を通る。

**(2)**

円 $C$ の方程式を平方完成すると、

$$ x^2+y^2-2x-2y=0 $$

より

$$ (x-1)^2+(y-1)^2=2 $$

となる。よって、円 $C$ の中心は $(1,1)$、半径は $\sqrt{2}$ である。

直線 $l$ を一般形に直すと

$$ ax-y-3a+4=0 $$

である。したがって、中心 $(1,1)$ から直線 $l$ までの距離 $d$ は

$$ d=\frac{|a\cdot 1-1-3a+4|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}} =\frac{|3-2a|}{\sqrt{a^2+1}} $$

である。

ここで、半径は $\sqrt{2}$ であるから、

• $d<\sqrt{2}$ のとき共有点は $2$ 個
• $d=\sqrt{2}$ のとき共有点は $1$ 個
• $d>\sqrt{2}$ のとき共有点は $0$ 個

である。

そこで

$$ \frac{|3-2a|}{\sqrt{a^2+1}} \lessgtr \sqrt{2} $$

を調べる。両辺を2乗すると

$$ (3-2a)^2 \lessgtr 2(a^2+1) $$

すなわち

$$ 4a^2-12a+9 \lessgtr 2a^2+2 $$

より

$$ 2a^2-12a+7 \lessgtr 0 $$

となる。

この2次方程式

$$ 2a^2-12a+7=0 $$

の解は

$$ a=\frac{12\pm\sqrt{144-56}}{4} =\frac{12\pm\sqrt{88}}{4} =3\pm\frac{\sqrt{22}}{2} $$

である。したがって、

• $3-\dfrac{\sqrt{22}}{2}<a<3+\dfrac{\sqrt{22}}{2}$ のとき共有点は $2$ 個
• $a=3\pm\dfrac{\sqrt{22}}{2}$ のとき共有点は $1$ 個
• $a<3-\dfrac{\sqrt{22}}{2}$ または $a>3+\dfrac{\sqrt{22}}{2}$ のとき共有点は $0$ 個

である。

**(3)**

円の半径を $r$、中心から直線までの距離を $d$、円によって切り取られてできる弦の長さを $L$ とすると、

$$ L=2\sqrt{r^2-d^2} $$

である。

この問題では $r=\sqrt{2}$、$L=1$ であるから、

$$ 1=2\sqrt{2-d^2} $$

となる。これを解くと、

$$ \sqrt{2-d^2}=\frac12 $$

より

$$ 2-d^2=\frac14 $$

したがって

$$ d^2=\frac74 $$

である。

一方、

$$ d=\frac{|3-2a|}{\sqrt{a^2+1}} $$

であったから、

$$ \frac{(3-2a)^2}{a^2+1}=\frac74 $$

となる。これを整理すると

$$ 4(3-2a)^2=7(a^2+1) $$

すなわち

$$ 4(9-12a+4a^2)=7a^2+7 $$

より

$$ 9a^2-48a+29=0 $$

である。

これを解いて

$$ a=\frac{48\pm\sqrt{2304-1044}}{18} =\frac{48\pm\sqrt{1260}}{18} =\frac{48\pm 6\sqrt{35}}{18} =\frac{8\pm\sqrt{35}}{3} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、直線群を $y-4=a(x-3)$ と見て定点を見抜くことと、円については中心・半径を出して「中心から直線までの距離」で処理することである。

共有点の個数判定は、連立して2次方程式の判別式を調べてもよいが、中心と半径が明確なので距離を使う方が計算が整理される。また、弦の長さについても

$$ 2\sqrt{r^2-d^2} $$

を使うと直接 $a$ の方程式に落とし込める。

答え

**(1)**

定点 $P$ の座標は

$$ (3,4) $$

である。

**(2)**

直線 $l$ と円 $C$ の共有点の個数は、

$3-\dfrac{\sqrt{22}}{2}<a<3+\dfrac{\sqrt{22}}{2}$ のとき $2$ 個

$a=3\pm\dfrac{\sqrt{22}}{2}$ のとき $1$ 個

$a<3-\dfrac{\sqrt{22}}{2}$ または $a>3+\dfrac{\sqrt{22}}{2}$ のとき $0$ 個

である。

**(3)**

求める $a$ の値は

$$ a=\frac{8+\sqrt{35}}{3},\ \frac{8-\sqrt{35}}{3} $$

である。