解説

方針・初手

接点における接線が直交するなら，その接点へ向かう半径 $AP,\ AQ$ も直交する。したがって $\angle PAQ=90^\circ$ である。

これにより，まず $\triangle APQ$ の面積はすぐ求まる。また，弦 $PQ$ を含む直線 $l$ は原点を通るので，中心 $A(1,1)$ から直線 $l$ までの距離を用いれば傾きが決まる。

さらに，接線の交点 $R$ については，円の接線の方程式を使って，接点 $P,Q$ を結ぶ直線 $l$ の式を $R$ の座標で表す。

解法1

**(1)**

$\triangle APQ$ の面積

円 $C$ の半径は $1$ であるから，

$$ AP=AQ=1 $$

である。

また，$P,Q$ における接線が直交するので，半径 $AP,\ AQ$ も直交し，

$$ \angle PAQ=90^\circ $$

となる。

したがって $\triangle APQ$ は直角二等辺三角形であり，その面積は

$$ \frac12\cdot AP\cdot AQ =\frac12\cdot 1\cdot 1 =\frac12 $$

である。

（2） 直線 $l$ の傾き

直線 $l$ を

$$ y=mx $$

とおく。

$\angle PAQ=90^\circ$ なので，弦 $PQ$ と中心 $A$ との距離は，半径 $1$，中心角 $90^\circ$ のときの値であり，

$$ \frac{1}{\sqrt2} $$

である。

一方，点 $A(1,1)$ から直線 $y=mx$ までの距離は

$$ \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} $$

であるから，

$$ \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac1{\sqrt2} $$

となる。両辺を二乗して整理すると，

$$ 2(m-1)^2=m^2+1 $$

$$ m^2-4m+1=0 $$

よって，

$$ m=2\pm\sqrt3 $$

である。

したがって，直線 $l$ の傾きは

$$ 2+\sqrt3,\quad 2-\sqrt3 $$

の $2$ 通りである。

（3） 2本の接線の交点 $R$ の座標

$R=(u,v)$ とおく。

円 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ 上の点 $(x_0,y_0)$ における接線の方程式は

$$ (x_0-1)(x-1)+(y_0-1)(y-1)=1 $$

である。

したがって，$R=(u,v)$ から引いた接線の接点を $(x,y)$ とすると，$R$ はその接線上にあるから

$$ (u-1)(x-1)+(v-1)(y-1)=1 $$

を満たす。

この式を満たす点 $(x,y)$ が接点全体であり，特に $P,Q$ はともにこれを満たす。よって，直線 $PQ$，すなわち $l$ の方程式は

$$ (u-1)(x-1)+(v-1)(y-1)=1 $$

である。

ここで，原点 $(0,0)$ は $l$ 上にあるので，

$$ (u-1)(-1)+(v-1)(-1)=1 $$

より

$$ u+v=1 $$

を得る。

また，この直線の傾きは

$$ -\frac{u-1}{v-1} $$

であるから，

$$ -\frac{u-1}{v-1}=m $$

である。$u+v=1$，すなわち $v=1-u$ を代入すると，

$$ m=-\frac{u-1}{-u}=\frac{u-1}{u} $$

となるので，

$$ mu=u-1 $$

$$ u=-\frac1{m-1} $$

さらに

$$ v=1-u=\frac{m}{m-1} $$

である。

したがって，

$$ R\left(-\frac1{m-1},\ \frac{m}{m-1}\right) $$

となる。ここに $m=2\pm\sqrt3$ を代入すれば，

**(i)**

$m=2+\sqrt3$ のとき

$$ R\left(\frac{1-\sqrt3}{2},\ \frac{1+\sqrt3}{2}\right) $$

**(ii)**

$m=2-\sqrt3$ のとき

$$ R\left(\frac{1+\sqrt3}{2},\ \frac{1-\sqrt3}{2}\right) $$

である。

解説

この問題の本質は，「接線が直交する」という条件を「半径が直交する」と読み替えることである。これにより $\angle PAQ=90^\circ$ が分かり，面積と，中心から弦 $PQ$ までの距離が一気に決まる。

また，接線の交点 $R$ を求める部分では，接線の方程式を用いて「$R$ から引いた接線の接点全体が作る直線」がそのまま $PQ$ になることを利用するのが要点である。対称性により，条件を満たす直線と交点はそれぞれ $2$ 通り生じる。

答え

**(1)**

$$ \triangle APQ \text{ の面積 }=\frac12 $$

**(2)**

$$ \text{直線 }l\text{ の傾き }=2+\sqrt3,\ 2-\sqrt3 $$

**(3)**

$$ R\left(\frac{1-\sqrt3}{2},\ \frac{1+\sqrt3}{2}\right),\quad R\left(\frac{1+\sqrt3}{2},\ \frac{1-\sqrt3}{2}\right) $$

である。