解説

方針・初手

円の式を平方完成して中心と半径を求める。

そのうえで、直線と円が異なる2点で交わる条件は、円の中心から直線までの距離が半径より小さいことを用いる。

また、弦 $PQ$ の長さは、円の半径と中心から弦までの距離を使えば求められる。

解法1

まず、円 $x^2+y^2-2y=0$ を平方完成する。

$$ x^2+(y-1)^2=1 $$

したがって、円の中心は $(0,1)$、半径は $1$ である。

（1） 円の中心の座標と半径

上より、

$$ \text{中心 }(0,1),\quad \text{半径 }1 $$

である。

（2） 定数 $a$ のとりうる値の範囲

直線 $ax-y+2a=0$ が円と異なる2点 $P,Q$ で交わるための条件は、円の中心 $(0,1)$ からこの直線までの距離が半径 $1$ より小さいことである。

点 $(0,1)$ から直線 $ax-y+2a=0$ までの距離は

$$ \begin{aligned} \frac{|a\cdot 0-1+2a|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}} &= \frac{|2a-1|}{\sqrt{a^2+1}} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \frac{|2a-1|}{\sqrt{a^2+1}}<1 $$

が必要十分条件となる。

両辺は正なので2乗してよい。

$$ (2a-1)^2<a^2+1 $$

$$ 4a^2-4a+1<a^2+1 $$

$$ 3a^2-4a<0 $$

$$ a(3a-4)<0 $$

したがって、

$$ 0<a<\frac43 $$

である。

（3） $PQ$ の長さが $\sqrt2$ となる $a$ の値

円の中心を $O$ とし、$O$ から弦 $PQ$ に下ろした垂線の長さを $d$ とすると、半径が $1$ であるから

$$ PQ=2\sqrt{1-d^2} $$

である。

ここで

$$ PQ=\sqrt2 $$

より、

$$ 2\sqrt{1-d^2}=\sqrt2 $$

$$ \sqrt{1-d^2}=\frac{1}{\sqrt2} $$

$$ 1-d^2=\frac12 $$

$$ d^2=\frac12 $$

となる。

一方、$d$ は中心 $(0,1)$ から直線 $ax-y+2a=0$ までの距離なので、

$$ d=\frac{|2a-1|}{\sqrt{a^2+1}} $$

したがって、

$$ \left(\frac{|2a-1|}{\sqrt{a^2+1}}\right)^2=\frac12 $$

すなわち

$$ \frac{(2a-1)^2}{a^2+1}=\frac12 $$

である。

これを解くと、

$$ 2(2a-1)^2=a^2+1 $$

$$ 8a^2-8a+2=a^2+1 $$

$$ 7a^2-8a+1=0 $$

$$ (7a-1)(a-1)=0 $$

よって、

$$ a=\frac17,\ 1 $$

を得る。

いずれも （2） の範囲 $0<a<\dfrac43$ を満たす。

解説

この問題の要点は、円と直線の位置関係を「中心から直線までの距離」で処理することである。

異なる2点で交わる条件は「距離 $<$ 半径」、接する条件は「距離 $=$ 半径」である。これを使うと、連立して判別式を計算するよりも簡潔に処理できる。

また、弦の長さは

$$ \text{弦の長さ}=2\sqrt{r^2-d^2} $$

という基本公式で直ちに扱える。円と直線の問題では非常に典型的な処理である。

答え

**(1)**

中心は $(0,1)$、半径は $1$

**(2)**

$$ 0<a<\frac43 $$

**(3)**

$$ a=\frac17,\ 1 $$