解説

方針・初手

（1） 接点2点を結ぶ弦の中点は，円の中心からその弦に下ろした垂線の足である。したがって，まず接点弦の方程式を求めればよい。

（2） 接線を傾き $m$ を用いて表し，単位円に接する条件を「原点から直線までの距離が 1」で書く。これにより2本の接線の傾きの和が求まり，y軸との交点の中点 $M$ の y座標を $x_0,y_0$ で表せる。そこから $P$ の軌跡を求め，最後に直線との囲まれた部分の面積を積分で求める。

解法1

**(1)**

接点を $A,B$ とする。単位円 $x^2+y^2=1$ に対し，外部の点 $P(x_0,y_0)$ から引いた2本の接線の接点を結ぶ直線 $AB$ の方程式は

$$ x_0x+y_0y=1 $$

である。

円の中心は原点 $O$ なので，弦 $AB$ の中点は，原点から直線 $x_0x+y_0y=1$ に下ろした垂線の足に一致する。

一般に，直線 $ax+by=1$ に対して原点からの垂線の足は

$$ \left(\frac{a}{a^2+b^2},\ \frac{b}{a^2+b^2}\right) $$

である。したがって，求める中点の座標は

$$ \left(\frac{x_0}{x_0^2+y_0^2},\ \frac{y_0}{x_0^2+y_0^2}\right) $$

である。

**(2)**

2本の接線の傾きを $m_1,m_2$ とする。接線を一般に

$$ y-y_0=m(x-x_0) $$

とおくと，これは

$$ mx-y+(y_0-mx_0)=0 $$

である。

この直線が単位円 $x^2+y^2=1$ に接するための必要十分条件は，原点からこの直線までの距離が 1 となることであるから，

$$ \frac{|y_0-mx_0|}{\sqrt{m^2+1}}=1 $$

すなわち

$$ (y_0-mx_0)^2=m^2+1 $$

である。これを整理すると

$$ (x_0^2-1)m^2-2x_0y_0m+(y_0^2-1)=0 $$

を得る。よって，$m_1,m_2$ はこの2次方程式の解であり，

$$ m_1+m_2=\frac{2x_0y_0}{x_0^2-1} $$

となる。ただし，問題の条件より2本の接線は y軸に平行でないので $x_0^2\neq 1$ である。

各接線の y軸との交点をそれぞれ $Q,R$ とする。接線 $y-y_0=m_i(x-x_0)$ に $x=0$ を代入すると，その y切片は

$$ y=y_0-x_0m_i $$

であるから，

$$ Q_y=y_0-x_0m_1,\qquad R_y=y_0-x_0m_2 $$

となる。したがって，$QR$ の中点 $M$ の y座標は

$$ \begin{aligned} \frac{Q_y+R_y}{2} &= y_0-\frac{x_0(m_1+m_2)}{2} \end{aligned} $$

であり，これに $m_1+m_2=\dfrac{2x_0y_0}{x_0^2-1}$ を代入すると，

$$ \begin{aligned} \frac{Q_y+R_y}{2} &= y_0-\frac{x_0}{2}\cdot \frac{2x_0y_0}{x_0^2-1} \\ -\frac{y_0}{x_0^2-1} \end{aligned} $$

を得る。

これが 2 に等しいから，

$$ -\frac{y_0}{x_0^2-1}=2 $$

より

$$ y_0=2(1-x_0^2) $$

となる。したがって，$P$ の軌跡は

$$ y=2-2x^2 $$

である。

ただし，$P$ は円の外部の点であるから，放物線上のすべての点が軌跡になるわけではない。実際，

$$ x^2+y^2>1 $$

に $y=2-2x^2$ を代入すると

$$ x^2+(2-2x^2)^2>1 $$

$$ 4x^4-7x^2+3>0 $$

$$ (4x^2-3)(x^2-1)>0 $$

となるので，

$$ x^2<\frac34 \quad \text{または} \quad x^2>1 $$

の部分が実際の軌跡である。

次に，この軌跡と直線

$$ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+1 $$

との交点を求める。連立すると

$$ 2-2x^2=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+1 $$

$$ 2x^2-\frac{1}{\sqrt{3}}x-1=0 $$

より

$$ x=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad -\frac{1}{\sqrt{3}} $$

であり，対応する点は

$$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac12\right),\qquad \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\ \frac43\right) $$

である。なお，$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac12\right)$ は円周上の点であり厳密には軌跡に含まれないが，囲まれる部分の面積には影響しない。

この区間では放物線が直線の上側にあるから，求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}/2} \left\{ (2-2x^2)-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}x+1\right) \right\},dx $$

$$ =\int_{-1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}/2} \left(1+\frac{x}{\sqrt{3}}-2x^2\right),dx $$

$$ =\left[ x+\frac{x^2}{2\sqrt{3}}-\frac{2}{3}x^3 \right]_{-1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}/2} =\frac{125\sqrt{3}}{216} $$

となる。

解説

（1） では，接点2点を結ぶ弦が外点 $P(x_0,y_0)$ に対する極線

$$ x_0x+y_0y=1 $$

になることを用いるのが本質である。中点は中心から弦への垂線の足なので，座標計算が一気に簡単になる。

（2） では，接線の傾きを未知数として接線条件を立てると，2本の接線を同時に扱える。個々の接線を別々に求めようとすると計算が重くなるが，傾きの和だけ分かれば中点 $M$ の y座標が直接出せる。軌跡が放物線になったあとも，外部条件 $x^2+y^2>1$ を忘れないことが重要である。

答え

**(1)**

接点を結ぶ線分の中点の座標は

$$ \left(\frac{x_0}{x_0^2+y_0^2},\ \frac{y_0}{x_0^2+y_0^2}\right) $$

である。

**(2)**

$M$ の y座標が 2 となる $P$ の軌跡は

$$ y=2-2x^2 $$

であり，実際にはそのうち

$$ x^2<\frac34 \quad \text{または} \quad x^2>1 $$

の部分である。したがって，この軌跡と直線

$$ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+1 $$

で囲まれる図形の面積は

$$ \frac{125\sqrt{3}}{216} $$

である。