解説

方針・初手

円②は平方完成して中心と半径を出すのが基本である。

（2） では，円①と円②の式を引くと $x^2+y^2$ が消え，共有点が乗る直線がただちに求まる。この直線が円①と異なる2点で交わる条件を調べればよい。

（3） では，共通接線を $y=mx+n$ とおき，それぞれの円の中心から直線までの距離が半径に等しいことを用いる。

解法1

**(1)**

円②の式を平方完成すると，

$$ x^2+y^2-2kx+3k=0 \iff (x-k)^2+y^2=k^2-3k $$

となる。

したがって，円②の中心は $(k,0)$，半径は $\sqrt{k^2-3k}$ である。

円の方程式を表すためには半径が正でなければならないから，

$$ k^2-3k>0 $$

すなわち，

$$ k(k-3)>0 $$

である。よって，

$$ k<0 \quad \text{または} \quad k>3 $$

である。

**(2)**

円①，②の共有点 $(x,y)$ は両方の式を満たすから，②−①をとると

$$ -2kx+3k=-1 $$

を得る。したがって，$k\neq 0$ のもとで

$$ x=\frac{3k+1}{2k} $$

である。

つまり，共有点は円①

$$ x^2+y^2=1 $$

と，直線

$$ x=\frac{3k+1}{2k} $$

との交点である。

この直線が円①と異なる2点で交わるための条件は，この直線が単位円の内部を通ることであるから，

$$ \left|\frac{3k+1}{2k}\right|<1 $$

である。

これを解くと，

$$ (3k+1)^2<4k^2 $$

$$ 9k^2+6k+1<4k^2 $$

$$ 5k^2+6k+1<0 $$

$$ (5k+1)(k+1)<0 $$

より，

$$ -1<k<-\frac15 $$

となる。

この範囲は $k<0$ に含まれるので，②は確かに円を表している。

**(3)**

$k=4$ のとき，円②は

$$ x^2+y^2-8x+12=0 \iff (x-4)^2+y^2=4 $$

である。

よって，円①の中心・半径は $(0,0),1$，円②の中心・半径は $(4,0),2$ である。

共通接線を

$$ y=mx+n $$

とおく。

この直線が円①に接する条件は，原点から直線までの距離が $1$ であることより，

$$ \frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}}=1 $$

すなわち，

$$ |n|=\sqrt{m^2+1} $$

である。

また，この直線が円②に接する条件は，$(4,0)$ から直線までの距離が $2$ であることより，

$$ \frac{|4m+n|}{\sqrt{m^2+1}}=2 $$

すなわち，

$$ |4m+n|=2\sqrt{m^2+1} $$

である。

ここで，共通接線には2種類ある。

（i） 2つの中心が直線の同じ側にある場合

このとき，

$$ n=\varepsilon\sqrt{m^2+1},\qquad 4m+n=2\varepsilon\sqrt{m^2+1} \quad (\varepsilon=\pm 1) $$

とおけるので，

$$ 4m=\varepsilon\sqrt{m^2+1} $$

である。両辺を2乗して，

$$ 16m^2=m^2+1 $$

$$ 15m^2=1 $$

$$ m=\pm \frac{1}{\sqrt{15}} $$

を得る。

このとき $n=4m$ となるから，

$$ y=\frac{1}{\sqrt{15}}x+\frac{4}{\sqrt{15}},\qquad y=-\frac{1}{\sqrt{15}}x-\frac{4}{\sqrt{15}} $$

を得る。

（ii） 2つの中心が直線の反対側にある場合

このとき，

$$ n=\varepsilon\sqrt{m^2+1},\qquad 4m+n=-2\varepsilon\sqrt{m^2+1} \quad (\varepsilon=\pm 1) $$

とおけるので，

$$ 4m=-3\varepsilon\sqrt{m^2+1} $$

である。両辺を2乗して，

$$ 16m^2=9(m^2+1) $$

$$ 7m^2=9 $$

$$ m=\pm \frac{3}{\sqrt{7}} $$

を得る。

このとき対応する $n$ は

$$ m=\frac{3}{\sqrt{7}} \Rightarrow n=-\frac{4}{\sqrt{7}},\qquad m=-\frac{3}{\sqrt{7}} \Rightarrow n=\frac{4}{\sqrt{7}} $$

であるから，

$$ y=\frac{3}{\sqrt{7}}x-\frac{4}{\sqrt{7}},\qquad y=-\frac{3}{\sqrt{7}}x+\frac{4}{\sqrt{7}} $$

を得る。

以上より，共通接線は4本である。

解説

円の一般形は平方完成して中心と半径を見るのが基本である。

また，2つの円の共有点を調べるときは，両式を引いて $x^2+y^2$ を消すと，共有点が乗る直線が得られる。この直線と片方の円との交わり方を調べれば，共有点の個数を処理できる。

共通接線は，直線を $y=mx+n$ とおいて，中心から直線までの距離を半径に一致させるのが標準的な解法である。

答え

**(1)**

$$ k<0 \quad \text{または} \quad k>3 $$

**(2)**

$$ -1<k<-\frac15 $$

**(3)**

共通接線は

$$ y=\frac{1}{\sqrt{15}}x+\frac{4}{\sqrt{15}},\qquad y=-\frac{1}{\sqrt{15}}x-\frac{4}{\sqrt{15}}, $$

$$ y=\frac{3}{\sqrt{7}}x-\frac{4}{\sqrt{7}},\qquad y=-\frac{3}{\sqrt{7}}x+\frac{4}{\sqrt{7}} $$

である。