基礎問題集

数学2 図形と式「円と直線」の問題19 解説

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数学2図形と式円と直線問題19

解説

接点を直接求める必要はない。円 $x^2+y^2=4$ 上の点 $(a,b)$ における接線の方程式を用い、その接線が点 $(4,2)$ を通る条件を立てる。

すると、接点 $(a,b)$ が満たす一次式が得られる。2つの接点 $P,Q$ はともにその一次式を満たすので、その式がそのまま直線 $PQ$ の方程式になる。

円

$$ x^2+y^2=4 $$

上の点 $T(a,b)$ における接線は

$$ ax+by=4 $$

である。

いま、この接線は点 $(4,2)$ を通るから、

$$ 4a+2b=4 $$

すなわち

$$ 2a+b=2 $$

が成り立つ。

ここで、$P,Q$ はいずれも接点であるから、$P,Q$ の座標をそれぞれ $(a,b)$ とみれば、ともに

$$ 2a+b=2 $$

を満たす。

したがって、2点 $P,Q$ はともに直線

$$ 2x+y=2 $$

上にある。よって、求める直線 $PQ$ の方程式は

$$ 2x+y=2 $$

である。

この問題は、外部の点から円に引いた2本の接線の接点を結ぶ直線を求める問題である。

接点そのものを計算しようとすると手間がかかるが、接点における接線の方程式

$$ ax+by=4 $$

を使えば、接点 $(a,b)$ が満たす条件がすぐに一次式で得られる。その一次式を満たす点が $P,Q$ の両方なので、直線 $PQ$ がそのまま決まる。

$$ PQ:\ 2x+y=2 $$