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数学2 図形と式「円と直線」の問題20 解説

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数学2図形と式円と直線問題20

解説

円の中心と半径を求め，その中心から直線 $\ell$ までの距離を見るのが最短である。

円周上の点から直線までの距離の最大・最小は，中心から直線までの距離に半径を加減すればよい。

まず，円 $C$ の方程式を平方完成する。

$$ x^2+y^2+2x-6y+1=0 $$

より，

$$ (x+1)^2-1+(y-3)^2-9+1=0 $$

したがって，

$$ (x+1)^2+(y-3)^2=9 $$

となる。よって，円 $C$ の中心は $(-1,3)$，半径は $3$ である。

次に，直線 $\ell$ を標準形に直す。

$$ y=\sqrt{3}x-5+\sqrt{3} $$

を移項して，

$$ \sqrt{3}x-y-5+\sqrt{3}=0 $$

である。

中心 $(-1,3)$ から直線 $\ell$ までの距離を $d$ とすると，

$$ d=\frac{|\sqrt{3}(-1)-3-5+\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}} =\frac{|-8|}{2}=4 $$

である。

円の中心から直線までの距離が $4$，半径が $3$ なので，円周上の点から直線までの距離の

である。

円周上の点から直線までの距離は，中心から見て直線に最も近い方向と最も遠い方向で極値をとる。

したがって，中心から直線までの距離を $d$，半径を $r$ とすれば，最大値は $d+r$，最小値は $d-r$ となる。この処理は円と直線の距離の典型である。

**(ア)**

$7$

**(イ)**

$1$