解説

方針・初手

点 $P$ は放物線 $y=x^2-1$ 上を動くので、$P=(x,x^2-1)$ とおいて各式を $x$ の式に直す。

（1） は $PA^2-PB^2$ を計算して二次式に整理すれば最大値が分かる。

（2） は三角不等式

$$ PA+PB\ge AB $$

を用いるのが最も速い。等号成立条件は $A,P,B$ が一直線上にあり、しかも $P$ が線分 $AB$ 上にあることであるから、直線 $AB$ と放物線の交点を求めればよい。

解法1

点 $P$ を

$$ P=(x,x^2-1) $$

とおく。

（1） $PA^2-PB^2$ の最大値

まず

$$ PA^2=(x-4)^2+(x^2-1-4)^2=(x-4)^2+(x^2-5)^2 $$

$$ PB^2=(x+4)^2+(x^2-1)^2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} PA^2-PB^2 &=(x-4)^2-(x+4)^2+(x^2-5)^2-(x^2-1)^2 \\ &=-16x+{(x^2-5)-(x^2-1)}{(x^2-5)+(x^2-1)} \\ &=-16x-4(2x^2-6) \\ &=-8x^2-16x+24 \\ &=-8(x^2+2x-3) \\ &=32-8(x+1)^2 \end{aligned} $$

となる。

したがって、$(x+1)^2\ge 0$ より最大値は

$$ 32 $$

であり、そのとき

$$ x=-1 $$

である。

このとき

$$ y=x^2-1=(-1)^2-1=0 $$

より、点 $P$ の座標は

$$ (-1,0) $$

である。

（2） $PA+PB$ の最小値

三角形 $APB$ に三角不等式を用いると、

$$ PA+PB\ge AB $$

である。

ここで

$$ AB=\sqrt{(4-(-4))^2+(4-0)^2} =\sqrt{8^2+4^2} =\sqrt{80} =4\sqrt{5} $$

だから、

$$ PA+PB\ge 4\sqrt{5} $$

となる。

等号が成り立つのは、$A,P,B$ が一直線上にあり、しかも $P$ が線分 $AB$ 上にあるときである。そこで直線 $AB$ の方程式を求める。

点 $A(4,4)$、$B(-4,0)$ を通る直線の傾きは

$$ \frac{4-0}{4-(-4)}=\frac{1}{2} $$

であるから、直線 $AB$ は

$$ y=\frac{1}{2}x+2 $$

である。

これと放物線 $y=x^2-1$ との交点を求めると、

$$ x^2-1=\frac{1}{2}x+2 $$

すなわち

$$ 2x^2-x-6=0 $$

となる。これを因数分解すると、

$$ (2x+3)(x-2)=0 $$

より

$$ x=-\frac{3}{2},\ 2 $$

である。

それぞれに対して

$$ y=x^2-1 $$

を求めると、

**(i)**

$x=-\dfrac{3}{2}$ のとき

$$ y=\left(-\frac{3}{2}\right)^2-1=\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4} $$

**(ii)**

$x=2$ のとき

$$ y=2^2-1=3 $$

したがって、最小値は

$$ 4\sqrt{5} $$

であり、そのときの点 $P$ は

$$ \left(-\frac{3}{2},\frac{5}{4}\right),\ (2,3) $$

である。

解説

（1） は距離そのものではなく距離の二乗の差であるから、平方根が出ず、計算でそのまま処理できる。二次式にして平方完成するのが基本である。

（2） は計算で押すより、折れ線 $A\to P\to B$ の長さと線分 $AB$ を比べる発想が重要である。三角不等式から最小値は $AB$ 以上であり、実際に直線 $AB$ と放物線の交点が存在するので、その値がそのまま最小値になる。

答え

**(1)**

① $32$、② $-1$、③ $0$

**(2)**

④ $4\sqrt{5}$、⑤ $-\dfrac{3}{2}$、⑥ $\dfrac{5}{4}$、⑦ $2$、⑧ $3$