解説

方針・初手

まず直線 $AB$ の方程式を求める。すると （1） では点と直線の距離の公式が使える。

（2） では、$AB$ を底辺、点 $C$ から直線 $AB$ への距離を高さとみなせば、三角形の面積が求まる。

（3） では、外心は辺の垂直二等分線の交点であるから、$AB$ と $AC$ の垂直二等分線を求めて交点を出せばよい。

解法1

点 $A(3,0)$、$B(0,6)$ を通る直線 $AB$ の傾きは

$$ \frac{6-0}{0-3}=-2 $$

である。したがって、直線 $AB$ の方程式は

$$ y=-2x+6 $$

すなわち

$$ 2x+y-6=0 $$

である。

（1） 直線 $AB$ と点 $C(4,3)$ との距離は、点と直線の距離の公式より

$$ \frac{|2\cdot 4+3-6|}{\sqrt{2^2+1^2}} =\frac{5}{\sqrt{5}} =\sqrt{5} $$

である。

したがって、求める距離は $\sqrt{5}$ である。

（2） まず、辺 $AB$ の長さを求める。

$$ AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-6)^2} =\sqrt{9+36} =3\sqrt{5} $$

ここで、（1） で求めた距離 $\sqrt{5}$ は、点 $C$ から直線 $AB$ への高さである。よって、$\triangle ABC$ の面積は

$$ \frac12 \times AB \times \text{高さ} =\frac12 \times 3\sqrt{5}\times \sqrt{5} =\frac12 \times 15 =\frac{15}{2} $$

である。

（3） 外心は辺の垂直二等分線の交点である。

まず、辺 $AB$ の中点は

$$ \left(\frac{3+0}{2},\frac{0+6}{2}\right) =\left(\frac32,3\right) $$

である。直線 $AB$ の傾きは $-2$ であるから、その垂直二等分線の傾きは $\frac12$ である。したがって、その方程式は

$$ y-3=\frac12\left(x-\frac32\right) $$

すなわち

$$ y=\frac12x+\frac94 $$

である。

次に、辺 $AC$ の中点は

$$ \left(\frac{3+4}{2},\frac{0+3}{2}\right) =\left(\frac72,\frac32\right) $$

である。直線 $AC$ の傾きは

$$ \frac{3-0}{4-3}=3 $$

であるから、その垂直二等分線の傾きは $-\frac13$ である。よって、その方程式は

$$ y-\frac32=-\frac13\left(x-\frac72\right) $$

すなわち

$$ y=-\frac13x+\frac83 $$

である。

この2直線の交点を求めると、

$$ \frac12x+\frac94=-\frac13x+\frac83 $$

より

$$ 6x+27=-4x+32 $$

したがって

$$ 10x=5 $$

であるから

$$ x=\frac12 $$

となる。これを

$$ y=\frac12x+\frac94 $$

に代入すると

$$ y=\frac12\cdot\frac12+\frac94=\frac14+\frac94=\frac52 $$

となる。

よって、外心の座標は

$$ \left(\frac12,\frac52\right) $$

である。

半径は、たとえば外心 $O\left(\frac12,\frac52\right)$ と点 $A(3,0)$ との距離より

$$ OA^2=\left(3-\frac12\right)^2+\left(0-\frac52\right)^2 =\left(\frac52\right)^2+\left(-\frac52\right)^2 =\frac{25}{4}+\frac{25}{4} =\frac{25}{2} $$

である。したがって、外接円の方程式は

$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac52\right)^2=\frac{25}{2} $$

である。

これを展開すると

$$ x^2+y^2-x-5y-6=0 $$

となる。

解説

この問題の要点は、座標平面上の図形を「直線の方程式」「点と直線の距離」「垂直二等分線」に落とし込むことである。

（1） は公式を正確に使えるかどうか、（2） は距離を高さとして面積公式に結びつけられるかどうかが重要である。（3） は外心の定義を使う典型問題であり、2本の垂直二等分線を立てて交点を求めれば確実である。

答え

**(1)**

直線 $AB$ と点 $C$ との距離は

$$ \sqrt{5} $$

である。

**(2)**

$\triangle ABC$ の面積は

$$ \frac{15}{2} $$

である。

**(3)**

外心の座標は

$$ \left(\frac12,\frac52\right) $$

外接円の方程式は

$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac52\right)^2=\frac{25}{2} $$

または

$$ x^2+y^2-x-5y-6=0 $$

である。