解説

方針・初手

（1） は、$M$ が $BC$ の中点であることから $BM=CM$ を用い、三角形 $ABM,\ ACM$ に余弦定理を適用して両式を加えればよい。

（2） は、まず三角形 $ABC,\ ADC$ に対して （1） を適用して辺の二乗和を $AM,\ BM,\ DM$ で表す。次に三角形 $BMD$ で、$N$ が $BD$ の中点であることに着目して再び （1） を用いる。

解法1

**(1)**

$M$ は $BC$ の中点であるから、

$$ BM=CM $$

である。

ここで $\angle BMA=\theta$ とおくと、$B,\ M,\ C$ は一直線上にあるので

$$ \angle CMA=\pi-\theta $$

である。

したがって、余弦定理より

$$ AB^2=AM^2+BM^2-2AM\cdot BM\cos\theta $$

また

$$ AC^2=AM^2+CM^2-2AM\cdot CM\cos(\pi-\theta) $$

である。ここで $CM=BM,\ \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$ を用いると

$$ AC^2=AM^2+BM^2+2AM\cdot BM\cos\theta $$

となる。

よって両式を加えれば、

$$ AB^2+AC^2 =(AM^2+BM^2-2AM\cdot BM\cos\theta) +(AM^2+BM^2+2AM\cdot BM\cos\theta) =2(AM^2+BM^2) $$

となり、示された。

**(2)**

まず、三角形 $ABC$ において $M$ は $AC$ の中点であるから、（1） より

$$ AB^2+BC^2=2(AM^2+BM^2) $$

である。

同様に、三角形 $ADC$ においても $M$ は $AC$ の中点であるから、

$$ AD^2+CD^2=2(AM^2+DM^2) $$

である。

この 2 式を加えると、

$$ AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 =4AM^2+2(BM^2+DM^2) $$

を得る。

ここで $M$ は $AC$ の中点なので

$$ AC=2AM $$

より

$$ 4AM^2=AC^2 $$

である。

次に、三角形 $BMD$ をみると、$N$ は $BD$ の中点であるから、再び （1） を適用して

$$ BM^2+DM^2=2(BN^2+MN^2) $$

を得る。

したがって

$$ 2(BM^2+DM^2)=4(BN^2+MN^2) $$

である。さらに $N$ は $BD$ の中点であるから

$$ BD=2BN $$

より

$$ 4BN^2=BD^2 $$

となる。よって

$$ 2(BM^2+DM^2)=BD^2+4MN^2 $$

である。

これを先の式に代入すると、

$$ AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 =AC^2+BD^2+4MN^2 $$

となり、示された。

解説

（1） は中点に関する基本公式であり、三角形の中線に関する長さの関係を与える。余弦定理で交差項が打ち消し合うことが本質である。

（2） では、四角形をいきなり扱うのではなく、対角線 $AC$ で 2 つの三角形に分けて （1） を適用するのが自然である。その後に三角形 $BMD$ にもう一度 （1） を適用すると、$BM,\ DM$ が消えて $BD,\ MN$ で表せる。つまり、この問題は （1） を 2 回使う構造になっている。

答え

**(1)**

$$ AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2 $$

が成り立つ。