解説

方針・初手

二項定理を用いて $a_r$ を直接求める。

そのうえで、隣り合う係数の比 $\dfrac{a_r}{a_{r+1}}$ を調べれば、数列 $a_0,a_1,\dots,a_n$ がどこまで増加し、どこから減少するかが分かる。したがって、最大となる $r$ はこの比の大小から判定できる。

解法1

$(x+3)^n$ を二項定理で展開すると、

$$ (x+3)^n=\sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k} x^k 3^{n-k} $$

である。

したがって、$x^r$ の係数 $a_r$ は

$$ a_r={}_{n}\mathrm{C}_{r}3^{n-r} $$

となる。これで （1） が求まった。

次に （2） を求める。$0\leqq r\leqq n-1$ のとき、

$$ a_r={}_{n}\mathrm{C}_{r}3^{n-r},\qquad a_{r+1}={}_{n}\mathrm{C}_{r+1}3^{n-r-1} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{a_r}{a_{r+1}} &= \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{r}3^{n-r}}{{}_{n}\mathrm{C}_{r+1}3^{n-r-1}} \\ 3\cdot \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{r}}{{}_{n}\mathrm{C}_{r+1}} \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{r+1}={}_{n}\mathrm{C}_{r}\cdot \frac{n-r}{r+1} $$

より、

$$ \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{r}}{{}_{n}\mathrm{C}_{r+1}}=\frac{r+1}{n-r} $$

である。よって、

$$ \frac{a_r}{a_{r+1}}=3\frac{r+1}{n-r} $$

を得る。

最後に （3） を考える。$n=99$ のとき、

$$ \frac{a_r}{a_{r+1}}=3\frac{r+1}{99-r} $$

である。

$a_r<a_{r+1}$ となるのは

$$ \frac{a_r}{a_{r+1}}<1 $$

のときであり、これは

$$ 3(r+1)<99-r $$

すなわち

$$ 4r<96 $$

より、

$$ r<24 $$

である。

また、$a_r=a_{r+1}$ となるのは

$$ 3(r+1)=99-r $$

すなわち

$$ 4r=96 $$

より、

$$ r=24 $$

である。

したがって、

• $r=0,1,\dots,23$ では $a_r<a_{r+1}$ で増加する。
• $r=24$ では $a_{24}=a_{25}$ である。
• $r=25,26,\dots,98$ では $a_r>a_{r+1}$ で減少する。

ゆえに、$a_r$ が最大となるのは

$$ r=24,\ 25 $$

である。

解説

この問題の本質は、係数そのものを直接比較するのではなく、隣り合う項の比 $\dfrac{a_r}{a_{r+1}}$ を調べることにある。

二項展開の係数の最大を問う問題では、数列が増加から減少に切り替わる位置を見つければよい。今回は $a_{24}=a_{25}$ となるため、最大値を与える $r$ が 2 個ある点に注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ a_r={}_{n}\mathrm{C}_{r}3^{n-r} $$

**(2)**

$$ \frac{a_r}{a_{r+1}}=3\frac{r+1}{n-r} $$

**(3)**

$$ r=24,\ 25 $$