解説

方針・初手

点 $P$ は直線 $BQ$ 上にあり，しかも $QP=\sqrt{2}$ であるから，まず直線 $BQ$ の方向ベクトルを用いて $P$ の座標を表す。

さらに （2） では $AP=QP$ となるので，点 $P$ は $AQ$ の垂直二等分線上にもある。この条件を使うと計算が整理しやすい。

解法1

直線 $BQ$ の方向ベクトルは

$$ \overrightarrow{BQ}=(1,a) $$

であり，その長さは

$$ |\overrightarrow{BQ}|=\sqrt{1+a^2} $$

である。

したがって，$Q$ から $BQ$ 方向へ長さ $\sqrt{2}$ だけ進んだ点が $P$ であるから，

$$ \overrightarrow{QP} =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+a^2}}(1,a) $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} P &= Q+\overrightarrow{QP}\\ &= \left(0,a\right)+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+a^2}}(1,a) \end{aligned} $$

より，

$$ p_1=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+a^2}}, \qquad p_2=a+\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}} $$

である。

次に （2） を考える。

$AP=\sqrt{2}$ かつ $QP=\sqrt{2}$ であるから，

$$ AP=QP $$

である。したがって点 $P$ は線分 $AQ$ の垂直二等分線上にある。

$A(0,1)$，$Q(0,a)$ はともに $y$ 軸上にあるので，線分 $AQ$ の垂直二等分線は

$$ y=\frac{1+a}{2} $$

である。よって

$$ p_2=\frac{1+a}{2} $$

である。

一方，（1） より

$$ p_2=a+\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}} $$

であるから，

$$ a+\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{1+a}{2} $$

すなわち

$$ \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{1-a}{2} $$

を得る。両辺を2乗すると，

$$ \frac{2a^2}{1+a^2}=\frac{(1-a)^2}{4} $$

よって

$$ 8a^2=(1-a)^2(1+a^2) $$

である。整理すると

$$ a^4-2a^3-6a^2-2a+1=0 $$

となり，これは

$$ (a+1)^2(a^2-4a+1)=0 $$

と因数分解できる。したがって

$$ a=2\pm\sqrt{3} $$

であるが，$0<a<1$ より

$$ a=2-\sqrt{3} $$

である。

最後に （3） を考える。

$\angle ABQ$ は，直線 $BA$ と直線 $BQ$ のなす角である。

直線 $BA$ の傾きは

$$ \frac{1-0}{0-(-1)}=1 $$

であるから，$x$ 軸となす角は $45^\circ$ である。

また，直線 $BQ$ の傾きは $a$ であり，（2） より

$$ a=2-\sqrt{3} $$

である。ここで

$$ \tan 15^\circ=2-\sqrt{3} $$

より，直線 $BQ$ の $x$ 軸となす角は $15^\circ$ である。

したがって

$$ \angle ABQ=45^\circ-15^\circ=30^\circ $$

である。

解説

（1） は直線上の点の表し方をそのまま使う問題である。方向ベクトル $(1,a)$ を長さ $\sqrt{2}$ に調整して $Q$ に足せばよい。

（2） の本質は，$AP=QP$ から「点 $P$ は $AQ$ の垂直二等分線上にある」と見ることである。距離の式を直接立てても解けるが，垂直二等分線を使うと見通しがよい。

（3） では $a=2-\sqrt{3}$ を見て $\tan 15^\circ$ を連想できるかがポイントである。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+a^2}}, \qquad p_2=a+\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}} $$

**(2)**

$$ a=2-\sqrt{3} $$

**(3)**

$$ \angle ABQ=30^\circ $$