解説

方針・初手

対称移動と最短経路の典型問題である。

（1） は、点 $A$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線の足を求めれば、その点が線分 $AC$ の中点になることを用いて対称点 $C$ を求められる。

（2） は、（1） で求めた対称点 $C$ を用いると、直線 $\ell$ 上の点 $P$ について $AP=CP$ となるので、$AP+PB$ を $CP+PB$ に置き換えられる。すると折れ線の最短条件から、$C,B,P$ が一直線上に並ぶとき最小になる。

解法1

**(1)**

直線 $\ell$ の傾きは $\dfrac12$ であるから、これに垂直な直線の傾きは $-2$ である。

よって、点 $A(1,4)$ を通り、直線 $\ell$ に垂直な直線の方程式は

$$ y-4=-2(x-1) $$

すなわち

$$ y=-2x+6 $$

である。

この直線と $\ell: y=\dfrac12x+1$ との交点を $H$ とすると、$H$ は点 $A$ から $\ell$ に下ろした垂線の足である。

連立して

$$ \frac12x+1=-2x+6 $$

$$ \frac52x=5 $$

$$ x=2 $$

したがって

$$ y=\frac12\cdot 2+1=2 $$

より、

$$ H(2,2) $$

である。

点 $C$ は点 $A$ の直線 $\ell$ に関する対称点であるから、$H$ は線分 $AC$ の中点である。よって

$$ \left( \frac{1+x_C}{2},\frac{4+y_C}{2} \right)=(2,2) $$

となるので、

$$ x_C=3,\quad y_C=0 $$

したがって、

$$ C(3,0) $$

である。

**(2)**

直線 $\ell$ 上の任意の点 $P$ について、点 $C$ は点 $A$ の $\ell$ に関する対称点であるから

$$ AP=CP $$

が成り立つ。

したがって、

$$ AP+PB=CP+PB $$

である。

よって、$AP+PB$ を最小にすることは、$CP+PB$ を最小にすることと同じである。

ここで、$C$ から $B$ へ行く折れ線 $C \to P \to B$ の長さ $CP+PB$ は、三角不等式より

$$ CP+PB \geq CB $$

であり、等号が成り立つのは $C,P,B$ が一直線上にあるときである。

したがって、求める点 $P$ は、直線 $CB$ と直線 $\ell$ の交点である。

点 $C(3,0)$、$B(5,6)$ を通る直線 $CB$ の傾きは

$$ \frac{6-0}{5-3}=3 $$

であるから、その方程式は

$$ y=3(x-3)=3x-9 $$

である。

これと $\ell: y=\dfrac12x+1$ を連立すると、

$$ 3x-9=\frac12x+1 $$

$$ \frac52x=10 $$

$$ x=4 $$

よって

$$ y=\frac12\cdot 4+1=3 $$

したがって、$AP+PB$ を最小にする点は

$$ P(4,3) $$

である。

解説

この問題の要点は、**直線上を経由する最短経路は対称移動で一直線に直す**という発想である。

（1） は、対称点を求める基本手順として「垂線の足を求め、その点を中点として使う」処理を正確に行えばよい。

（2） は、その対称点を利用して $AP$ を $CP$ に置き換えるのが決定的である。すると、折れ線 $C \to P \to B$ の長さを最小にする問題になり、一直線になるとき最短であることから交点を求めればよい。

答え

**(1)**

点 $A$ と直線 $\ell$ に関して対称な点 $C$ の座標は

$$ (3,0) $$

である。

**(2)**

$AP+PB$ を最小にする直線 $\ell$ 上の点 $P$ の座標は

$$ (4,3) $$

である。