解説

方針・初手

線分 $OA$ 上の点を

$$ Q(t,3t)\qquad (0\le t\le 1) $$

とおくと，点 $P(a,b)$ と $Q$ の距離の二乗は

$$ PQ^2=(a-t)^2+(b-3t)^2 $$

である。したがって $d(P)$ は，この式を $0\le t\le 1$ の範囲で最小にしたときの平方根である。

最小値を与える $t$ が区間 $[0,1]$ の内側にあるか，左にはみ出すか，右にはみ出すかで，最近点がそれぞれ線分の内部，点 $O$，点 $A$ になる。

解法1

点 $P(a,b)$ に対して

$$ f(t)=(a-t)^2+(b-3t)^2 $$

とおくと，

$$ \begin{aligned} f(t) &=a^2-2at+t^2+b^2-6bt+9t^2 \\ &=10t^2-2(a+3b)t+a^2+b^2 \end{aligned} $$

である。これは $t$ の2次式であり，頂点は

$$ t=\frac{a+3b}{10} $$

にある。

したがって，$0\le t\le 1$ の範囲での最小値は次の3通りになる。

**(i)**

$a+3b\le 0$ のとき 頂点が区間の左にあるので，最小は $t=0$，すなわち $Q=O$ のときである。よって

$$ d(P)=\sqrt{a^2+b^2} $$

である。

**(ii)**

$0\le a+3b\le 10$ のとき 頂点が区間内にあるので，$t=\dfrac{a+3b}{10}$ のとき最小になる。よって

$$ \begin{aligned} d(P)^2 &=a^2+b^2-\frac{(a+3b)^2}{10} \\ &=\frac{10a^2+10b^2-(a+3b)^2}{10} \\ &=\frac{9a^2-6ab+b^2}{10} \\ &=\frac{(3a-b)^2}{10} \end{aligned} $$

より，

$$ d(P)=\frac{|3a-b|}{\sqrt{10}} $$

である。

**(iii)**

$a+3b\ge 10$ のとき 頂点が区間の右にあるので，最小は $t=1$，すなわち $Q=A(1,3)$ のときである。よって

$$ d(P)=\sqrt{(a-1)^2+(b-3)^2} $$

である。

以上より，$d(P)$ は

$$ d(P)= \begin{cases} \sqrt{a^2+b^2} & (a+3b\le 0),\\[1mm] \dfrac{|3a-b|}{\sqrt{10}} & (0\le a+3b\le 10),\\[2mm] \sqrt{(a-1)^2+(b-3)^2} & (a+3b\ge 10) \end{cases} $$

と表される。

以下，これを用いて各問を処理する。

**(1)**

$P=(5,2)$ のとき

$$ a+3b=5+3\cdot 2=11\ge 10 $$

であるから，最近点は $A$ であり，

$$ d(P)=\sqrt{(5-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17} $$

である。

（2） すでに求めた通り，

$$ d(P)= \begin{cases} \sqrt{a^2+b^2} & (a+3b\le 0),\\[1mm] \dfrac{|3a-b|}{\sqrt{10}} & (0\le a+3b\le 10),\\[2mm] \sqrt{(a-1)^2+(b-3)^2} & (a+3b\ge 10) \end{cases} $$

である。

**(3)**

$P$ は放物線 $y=x^2$ 上にあるから，$P=(x,x^2)$ とおく。

このとき $a=x,\ b=x^2$ であるから，場合分けの条件は $x+3x^2$ によって決まる。

まず，

**(i)**

$x+3x^2\le 0$ のとき

$$ d(P)=\sqrt{x^2+x^4} $$

である。ところが $x+3x^2\le 0$ なら $-\dfrac13\le x\le 0$ であり，

$$ x^2+x^4\le \frac19+\frac1{81}=\frac{10}{81}<10 $$

となるので，$d(P)=\sqrt{10}$ は成り立たない。

次に，

**(ii)**

$0\le x+3x^2\le 10$ のとき

$$ d(P)=\frac{|3x-x^2|}{\sqrt{10}} $$

であるから，

$$ \frac{|3x-x^2|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10} $$

すなわち

$$ |3x-x^2|=10 $$

となる。これを解くと，

$$ x^2-3x-10=0 $$

より

$$ x=5,\ -2 $$

を得るが，$x=5$ では $x+3x^2=80>10$ で条件を満たさない。したがってこの場合の解は

$$ x=-2 $$

のみである。

最後に，

**(iii)**

$x+3x^2\ge 10$ のとき

$$ d(P)=\sqrt{(x-1)^2+(x^2-3)^2} $$

であるから，

$$ (x-1)^2+(x^2-3)^2=10 $$

を解けばよい。整理すると

$$ \begin{aligned} x^2-2x+1+x^4-6x^2+9&=10 \\ x^4-5x^2-2x&=0 \\ x(x^3-5x-2)&=0 \\ x(x+2)(x^2-2x-1)&=0 \end{aligned} $$

となるので，

$$ x=0,\ -2,\ 1+\sqrt{2},\ 1-\sqrt{2} $$

を得る。このうち $x+3x^2\ge 10$ を満たすのは

$$ x=-2,\ 1+\sqrt{2} $$

である。

以上より，求める $x$ 座標は

$$ x=-2,\ 1+\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の本質は，「点と線分の距離」は「点と直線の距離」とは限らず，垂線の足が線分の外に出るときは端点までの距離になる，という点にある。

線分 $OA$ 上の点を $Q(t,3t)$ とおいて距離の二乗を2次式にすれば，頂点の位置だけで最近点が $O$，線分内部，$A$ のどこにあるかが一度に判定できる。 （3） では，この場合分けをそのまま放物線 $y=x^2$ に代入して処理するのが自然である。

答え

**(1)**

$$ d(P)=\sqrt{17} $$

**(2)**

$$ d(P)= \begin{cases} \sqrt{a^2+b^2} & (a+3b\le 0),\\[1mm] \dfrac{|3a-b|}{\sqrt{10}} & (0\le a+3b\le 10),\\[2mm] \sqrt{(a-1)^2+(b-3)^2} & (a+3b\ge 10) \end{cases} $$

**(3)**

$$ x=-2,\ 1+\sqrt{2} $$