解説

方針・初手

$AB=BC=CA$ より、$\triangle ABC$ は正三角形である。したがって、$\overrightarrow{AB}=(-a,b)$ を $\pm 60^\circ$ 回転したベクトルが $\overrightarrow{AC}$ になる。

これにより点 $C$ の座標を $a,b$ で表し、条件 $OC=1$ を使って $s=a^2+b^2,\ t=ab$ の関係式を求める。

また、正三角形の面積は辺の長さの二乗で表せるので、$(1)$ の結果から $s$ の範囲を出せば面積の範囲も求まる。

解法1

$\overrightarrow{AB}=(-a,b)$ を $\pm 60^\circ$ 回転すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AC} &= \left( -\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}b,\\ \frac{b}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}a \right) \end{aligned} $$

となる。したがって、点 $C$ の座標は

$$ C =

\left( \frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}b,\ \frac{b}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}a \right) $$

である。

ここで $OC=1$ より、

$$ \left(\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}b\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 =1 $$

である。展開すると、

$$ a^2+b^2 \pm \sqrt{3}ab =1 $$

すなわち

$$ s \pm \sqrt{3}t=1 $$

を得る。よって符号を消去すれば、

$$ (s-1)^2=3t^2 $$

となる。したがって、求める関係式は

$$ s^2-2s-3t^2+1=0 $$

である。

次に、$\triangle ABC$ の面積を求める。

正三角形なので、辺の長さを $l$ とすると

$$ l^2=AB^2=a^2+b^2=s $$

であるから、面積 $S$ は

$$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2=\frac{\sqrt{3}}{4}s $$

である。したがって、$s$ の範囲を求めればよい。

一方、

$$ s^2-4t^2=(a^2+b^2)^2-4a^2b^2=(a^2-b^2)^2\geqq 0 $$

であるから、

$$ s^2\geqq 4t^2 $$

を満たす。

ここで $(1)$ より $3t^2=(s-1)^2$ なので、

$$ s^2 \geqq \frac{4}{3}(s-1)^2 $$

すなわち

$$ 3s^2 \geqq 4(s-1)^2 $$

$$ 3s^2 \geqq 4s^2-8s+4 $$

$$ s^2-8s+4\leqq 0 $$

となる。これを解くと、

$$ 4-2\sqrt{3}\leqq s\leqq 4+2\sqrt{3} $$

を得る。

ゆえに面積 $S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}s$ の範囲は

$$ \frac{\sqrt{3}}{4}(4-2\sqrt{3}) \leqq S \leqq \frac{\sqrt{3}}{4}(4+2\sqrt{3}) $$

すなわち

$$ \sqrt{3}-\frac{3}{2} \leqq S \leqq \sqrt{3}+\frac{3}{2} $$

である。

なお、等号は $(a^2-b^2)^2=0$、すなわち $|a|=|b|$ のときに成立するので、両端の値は実際にとりうる。

解説

この問題の本質は、$\triangle ABC$ が正三角形であることを座標でどう表すかにある。$A,B$ が軸上にあるので、$\overrightarrow{AB}$ を $\pm 60^\circ$ 回転して点 $C$ を表すのが自然である。

また、面積は直接座標で計算するよりも、正三角形の面積公式

$$ \frac{\sqrt{3}}{4}\times (\text{辺の長さ})^2 $$

を用いる方が簡潔である。あとは $s,t$ の関係と、実数 $a,b$ が存在するための条件

$$ (a^2-b^2)^2\geqq 0 $$

を組み合わせればよい。

答え

**(1)**

$$ s \pm \sqrt{3}t=1 $$

より、

$$ (s-1)^2=3t^2 $$

したがって、

$$ s^2-2s-3t^2+1=0 $$

である。

**(2)**

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると

$$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2)=\frac{\sqrt{3}}{4}s $$

であり、

$$ 4-2\sqrt{3}\leqq s\leqq 4+2\sqrt{3} $$

より、

$$ \sqrt{3}-\frac{3}{2} \leqq S \leqq \sqrt{3}+\frac{3}{2} $$

である。