解説

方針・初手

まず

$$ L_1:x+2y-6=0,\qquad L_2:x-3y-1=0 $$

$$ M_1:ax-y-9=0,\qquad M_2:\frac{x}{a}-y+b=0 $$

とおく。

与えられた4点は、$L_1,L_2$ と $M_1,M_2$ の交点4個である。 平行四辺形の頂点の並び方を考えると、まず $L_1$ 上の2点と $L_2$ 上の2点がどの位置関係になるかを確定するのが初手である。

解法1

$L_1$ 上には2頂点、$L_2$ 上にも2頂点がある。

もし $L_1$ 上の2点が隣り合う頂点であるなら、その向かい合う辺は $L_2$ 上の2点を結ぶ直線上にあることになるから、平行四辺形より

$$ L_1\parallel L_2 $$

でなければならない。

しかし

$$ L_1:\ y=-\frac12x+3,\qquad L_2:\ y=\frac13x-\frac13 $$

であり、傾きが異なるので平行ではない。

したがって、$L_1$ 上の2点は対頂点であり、同様に $L_2$ 上の2点も対頂点である。 よって平行四辺形の対角線は、それぞれ $L_1$、$L_2$ 上にあることになる。

平行四辺形の対角線は互いに中点で交わるから、その交点は $L_1$ と $L_2$ の交点である。

したがって

$$ \begin{cases} x+2y=6\\ x-3y=1 \end{cases} $$

を解けばよい。

両式の差をとると

$$ 5y=5 $$

より

$$ y=1 $$

これを $x-3y=1$ に代入して

$$ x-3=1 $$

より

$$ x=4 $$

したがって、対角線の交点は

$$ (4,1) $$

である。

次に $a,b$ を求める。

すでに $L_1,L_2$ 上の2点ずつが対頂点であるから、$M_1,M_2$ 上の2点ずつは辺をつくることになる。したがって、平行四辺形の向かい合う辺として

$$ M_1\parallel M_2 $$

である。

$M_1,M_2$ を傾きの形にすると

$$ M_1:\ y=ax-9,\qquad M_2:\ y=\frac1a x+b $$

であるから、平行条件より

$$ a=\frac1a $$

すなわち

$$ a^2=1 $$

よって

$$ a=1\ \text{または}\ a=-1 $$

である。

---

**(i)**

$a=1$ のとき

$$ M_1:\ y=x-9,\qquad M_2:\ y=x+b $$

$L_1$ 上の2点は対頂点であり、その中点が $(4,1)$ である。

まず $L_1$ と $M_1$ の交点を求める。

$$ \begin{cases} x+2y=6\\ y=x-9 \end{cases} $$

より

$$ x+2(x-9)=6 $$

$$ 3x=24 $$

$$ x=8,\qquad y=-1 $$

次に $L_1$ と $M_2$ の交点を求める。

$$ \begin{cases} x+2y=6\\ y=x+b \end{cases} $$

より

$$ x+2(x+b)=6 $$

$$ 3x=6-2b $$

$$ x=\frac{6-2b}{3},\qquad y=\frac{6+b}{3} $$

この2点の中点が $(4,1)$ だから、$x$ 座標について

$$ \frac{1}{2}\left(8+\frac{6-2b}{3}\right)=4 $$

$$ 24+6-2b=24 $$

$$ b=3 $$

したがって

$$ (a,b)=(1,3) $$

---

**(ii)**

$a=-1$ のとき

$$ M_1:\ y=-x-9,\qquad M_2:\ y=-x+b $$

まず $L_1$ と $M_1$ の交点は

$$ \begin{cases} x+2y=6\\ y=-x-9 \end{cases} $$

より

$$ x+2(-x-9)=6 $$

$$ -x=24 $$

$$ x=-24,\qquad y=15 $$

次に $L_1$ と $M_2$ の交点は

$$ \begin{cases} x+2y=6\\ y=-x+b \end{cases} $$

より

$$ x+2(-x+b)=6 $$

$$ -x+2b=6 $$

$$ x=2b-6,\qquad y=6-b $$

この2点の中点が $(4,1)$ だから、$x$ 座標について

$$ \frac{1}{2}\bigl(-24+(2b-6)\bigr)=4 $$

$$ 2b-30=8 $$

$$ b=19 $$

したがって

$$ (a,b)=(-1,19) $$

解説

この問題の核心は、4つの交点をどう平行四辺形の頂点として見るかである。

$L_1$ と $L_2$ は平行でないので、各直線上の2点は辺ではなく対頂点である。よって対角線の交点は $L_1$ と $L_2$ の交点になる。ここが （1） の本質である。

そのうえで、残る $M_1,M_2$ は平行四辺形の向かい合う辺になるから平行でなければならない。これにより $a=\pm1$ が出る。最後は、中点が $(4,1)$ であることを使って $b$ を決定すればよい。

答え

**(1)**

平行四辺形の対角線の交点は

$$ (4,1) $$

**(2)**

$$ (a,b)=(1,3)\quad \text{または}\quad (-1,19) $$