基礎問題集
数学2 図形と式「直線」の問題2 解説
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解説
方針・初手
まず、点 $A$ を $x$ 軸対称、さらに直線 $y=x$ 対称に移して点 $C$ の座標を求める。
その後、点 $A$ と点 $C$ が直線 $y=mx+n$ に関して対称であることから、その直線は線分 $AC$ の垂直二等分線であることを用いて $m,n$ を決める。
解法1
点 $A(3,-1)$ を $x$ 軸に関して対称移動すると、$x$ 座標はそのままで $y$ 座標の符号が反転するから
$$ B=(3,1) $$
である。
次に、点 $B(3,1)$ を直線 $y=x$ に関して対称移動すると、$x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わるので
$$ C=(1,3) $$
となる。
よって、
$$ [ア]=1,\quad [イ]=3 $$
である。
次に、点 $A(3,-1)$ と点 $C(1,3)$ が直線 $y=mx+n$ に関して対称であるから、この直線は線分 $AC$ の垂直二等分線である。
まず、線分 $AC$ の中点は
$$ \left(\frac{3+1}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=(2,1) $$
である。
また、直線 $AC$ の傾きは
$$ \frac{3-(-1)}{1-3}=\frac{4}{-2}=-2 $$
であるから、その垂直な直線の傾きは
$$ \frac{1}{2} $$
である。
したがって、求める直線は点 $(2,1)$ を通り、傾きが $\frac12$ であるから
$$ y-1=\frac12(x-2) $$
すなわち
$$ y=\frac12x $$
となる。
よって、
$$ m=\frac12,\quad n=0 $$
である。
解説
$x$ 軸対称では $y$ 座標の符号が反転し、直線 $y=x$ 対称では $x,y$ が入れ替わる。この基本変換を正確に使えば点 $C$ はすぐに求まる。
また、2点がある直線に関して対称であるとき、その直線は2点を結ぶ線分の垂直二等分線になる。この性質を使うのが最も自然である。
答え
$$ [ア]=1,\quad [イ]=3,\quad [ウ]=\frac12,\quad [エ]=0 $$