解説

方針・初手

まず三角形 $OAB$ の面積を求めると

$$ \frac12 \cdot 4 \cdot 2=4 $$

である。したがって，直線 $y=mx+m+1$ がこの三角形を2等分するとは，直線によってできる2つの部分の面積がそれぞれ $2$ になることを意味する。

そこで，$m$ の値によって直線が三角形のどの辺と交わるかを場合分けし，切り取られる三角形の面積が $2$ になる条件を立てる。

解法1

点 $O,A,B$ における直線

$$ y=mx+m+1 $$

の左辺から右辺を引いた値を調べると，

$$ \begin{aligned} O(0,0)&:\ 0-(m+1)=-(m+1),\\ A(4,0)&:\ 0-(5m+1)=-(5m+1),\\ B(2,2)&:\ 2-(3m+1)=1-3m \end{aligned} $$

となる。

この符号によって，直線が三角形のどの辺と交わるかが分かる。

**(i)**

$-1<m<-\dfrac15$ のとき

このとき $O$ だけが直線の片側にあり，直線は辺 $OA,\ OB$ と交わる。

辺 $OA$ との交点を $P=(p,0)$ とおくと，$P$ は直線上にあるから

$$ 0=mp+m+1 $$

より

$$ m=-\frac1{p+1} $$

である。

次に，辺 $OB$ 上の点は $(q,q)$ と表せるので，直線との交点を $Q=(q,q)$ とすると

$$ q=mq+m+1 $$

であり，ここに $m=-\dfrac1{p+1}$ を代入すると

$$ q=\frac{p}{p+2} $$

を得る。

したがって，三角形 $OPQ$ の面積は

$$ \frac12 \cdot p \cdot q =\frac12 \cdot p \cdot \frac{p}{p+2} =\frac{p^2}{2(p+2)} $$

である。これが $2$ になればよいから，

$$ \frac{p^2}{2(p+2)}=2 $$

すなわち

$$ p^2=4p+8 $$

となる。これを解くと

$$ p=2\pm 2\sqrt3 $$

であるが，$0<p<4$ を満たすものは存在しない。よってこの場合に解はない。

**(ii)**

$-\dfrac15<m<\dfrac13$ のとき

このとき $B$ だけが直線の片側にあり，直線は辺 $OB,\ AB$ と交わる。

辺 $OB$ との交点を $Q$，辺 $AB$ との交点を $R$ とする。

辺 $OB$ は $y=x$ であるから，

$$ x=mx+m+1 $$

より

$$ Q\left(\frac{m+1}{1-m},\ \frac{m+1}{1-m}\right) $$

である。

また，辺 $AB$ は $y=-x+4$ であるから，

$$ -x+4=mx+m+1 $$

より

$$ R\left(\frac{3-m}{m+1},\ 4-\frac{3-m}{m+1}\right) $$

である。

ここで，$B=(2,2)$ であるから，

$$ 2-\frac{m+1}{1-m} =\frac{1-3m}{1-m}, \qquad \frac{3-m}{m+1}-2 =\frac{1-3m}{m+1} $$

となる。

三角形 $BQR$ は，頂点 $B$ から辺 $OB,\ AB$ に沿ってできる三角形なので，その面積は

$$ \begin{aligned} \left(2-\frac{m+1}{1-m}\right) \left(\frac{3-m}{m+1}-2\right) &= \frac{(1-3m)^2}{1-m^2} \end{aligned} $$

である。これが $2$ になればよいから，

$$ \frac{(1-3m)^2}{1-m^2}=2 $$

すなわち

$$ (1-3m)^2=2(1-m^2) $$

となる。展開して整理すると

$$ 1-6m+9m^2=2-2m^2 $$

より

$$ 11m^2-6m-1=0 $$

である。したがって

$$ m=\frac{6\pm \sqrt{36+44}}{22} =\frac{6\pm 4\sqrt5}{22} =\frac{3\pm 2\sqrt5}{11} $$

を得る。

ただし，この場合は $-\dfrac15<m<\dfrac13$ でなければならないので，

$$ m=\frac{3+2\sqrt5}{11} $$

は不適である。よって

$$ m=\frac{3-2\sqrt5}{11} $$

のみが適する。

（iii） 境界の場合

$m=-\dfrac15$ のとき直線は点 $A$ を通るが，このとき辺 $OB$ との交点は

$$ \left(\frac23,\frac23\right) $$

であり，三角形 $AOQ$ の面積は

$$ \frac12 \cdot 4 \cdot \frac23=\frac43 $$

であるから，2等分しない。

また $m=-1,\ \dfrac13$ のときはそれぞれ点 $O,\ B$ を通るだけで，三角形を2等分しない。

以上より，求める値はただ1つである。

解説

この問題の要点は，「面積が半分になる」という条件を，直線がどの2辺と交わるかで場合分けして処理することである。

三角形を直線で切ると，一方は三角形，もう一方は四角形になる。面積が半分ということは，切り取られる側の三角形の面積が $2$ になればよい。したがって，交点の座標を求めて面積条件を立てればよい。

最初に $O,A,B$ が直線のどちら側にあるかを調べると，どの辺と交わるかが明確になり，無駄なく場合分けできる。

答え

$$ m=\frac{3-2\sqrt5}{11} $$