基礎問題集
数学2 図形と式「直線」の問題4 解説
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解説
方針・初手
対称の軸が $y=x+2$ であるから、そのまま扱うよりも座標を平行移動して軸を $Y=X$ の形に直すと見通しがよい。
$y=x+2$ を $Y=X$ に直せば、直線の対称移動は「$X$ と $Y$ を入れ替える」だけで表せる。
解法1
座標を
$$ X=x,\quad Y=y-2 $$
とおく。
このとき、対称の軸 $y=x+2$ は
$$ Y=X $$
となる。
次に、直線 $y=3x+1$ をこの新しい座標で表す。
$$ y=Y+2,\quad x=X $$
であるから、
$$ Y+2=3X+1 $$
より
$$ Y=3X-1 $$
となる。
ここで、直線 $Y=X$ に関して対称な図形は、$X$ と $Y$ を入れ替えればよい。したがって、求める直線は
$$ X=3Y-1 $$
である。
これを $Y$ について解くと、
$$ Y=\frac{X+1}{3} $$
となる。
最後に、もとの座標 $(x,y)$ に戻す。$X=x,\ Y=y-2$ であるから、
$$ y-2=\frac{x+1}{3} $$
よって
$$ y=\frac{x+1}{3}+2=\frac{x+7}{3} $$
したがって、求める直線の方程式は
$$ y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3} $$
である。
解説
軸が $y=x+a$ の形であるとき、$y$ 座標を $a$ だけ下げて考えると、軸は $Y=X$ になる。
$Y=X$ に関する対称移動は、点 $(X,Y)$ を $(Y,X)$ に移す操作であり、直線の式でも $X$ と $Y$ を入れ替えればよい。この処理を知っていると、対称移動の問題を機械的に処理できる。
答え
$$ y=\frac{x+7}{3} $$