解説

方針・初手

正三角形の高さと重心の性質から、まず $A,B,C$ の座標を確定する。

つぎに、直線 $y=x$ に関する対称移動は座標を入れ替える操作であるから、$A',B',C'$ の座標はすぐに求まる。

重なり部分は、両三角形の辺の方程式を立てて交点を出し、その六角形の面積を求めればよい。

解法1

1辺の長さが $2$ の正三角形の高さは

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3} $$

である。

正三角形の重心は中線を $2:1$ に内分するから、頂点 $A$ から重心までの距離は

$$ \frac{2}{3}\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3} $$

である。重心が原点にあり、$A$ は $y$ 軸上で $y>0$ だから

$$ A\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) $$

となる。

また、辺 $BC$ は $x$ 軸に平行であり、正三角形の対称性から $BC$ の中点は $y$ 軸上にある。したがって

$$ B\left(-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right),\qquad C\left(1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $$

である。

（1） $C'$ の座標

直線 $y=x$ に関する対称移動では、座標 $(x,y)$ は $(y,x)$ に移る。

よって

$$ C\left(1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \longmapsto C'\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},1\right) $$

である。

（2） $\triangle ABC$ と $\triangle A'B'C'$ の重なる部分の面積

まず、$A',B',C'$ の座標は

$$ A'\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},0\right),\qquad B'\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-1\right),\qquad C'\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},1\right) $$

である。

つぎに、各辺の方程式を求める。

$\triangle ABC$ の辺は

$$ AB:\ y=\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3} $$

$$ AC:\ y=-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3} $$

$$ BC:\ y=-\frac{\sqrt{3}}{3} $$

である。

また、$\triangle A'B'C'$ の辺は

$$ A'B':\ y=\frac{x}{\sqrt{3}}-\frac{2}{3} $$

$$ A'C':\ y=-\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{2}{3} $$

$$ B'C':\ x=-\frac{\sqrt{3}}{3} $$

である。

重なり部分は六角形になる。その頂点を反時計回りに $P,Q,R,S,T,U$ とすると、

$$ P=B'C'\cap BC=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $$

$$ Q=B'C'\cap AB=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}-1\right) $$

$$ R=AB\cap A'C' $$

より

$$ \sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}=-\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{2}{3} $$

を解いて

$$ R\left(\frac{\sqrt{3}-3}{6},\frac{\sqrt{3}+3}{6}\right) $$

同様に

$$ S=AC\cap A'C' $$

より

$$ -\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}=-\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{2}{3} $$

を解いて

$$ S\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $$

さらに

$$ T=AC\cap A'B'=\left(\frac{\sqrt{3}+3}{6},\frac{\sqrt{3}-3}{6}\right) $$

$$ U=A'B'\cap BC=\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $$

を得る。

よって、靴ひも公式により重なり部分の面積を $S$ とすると

$$ \begin{aligned} 2S &= \Bigl|x_Py_Q+x_Qy_R+x_Ry_S+x_Sy_T+x_Ty_U+x_Uy_P \\ &\qquad -\left(y_Px_Q+y_Qx_R+y_Rx_S+y_Sx_T+y_Tx_U+y_Ux_P\right) \Bigr| \end{aligned} $$

である。これに各座標を代入して整理すると

$$ 2S=6-2\sqrt{3} $$

となるから、

$$ S=3-\sqrt{3} $$

である。

解説

この問題の要点は2つである。

1つ目は、正三角形の高さと重心の位置関係から、$A,B,C$ の座標を正確に置くことである。ここがずれると後の計算がすべて崩れる。

2つ目は、重なり部分を感覚で処理せず、辺の方程式を出して交点を順に求めることである。図形的には対称性が強いが、面積計算は座標で確定させるのが最も安全である。

答え

**(1)**

$$ C'\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},1\right) $$

**(2)**

$\triangle ABC$ と $\triangle A'B'C'$ の重なる部分の面積は

$$ 3-\sqrt{3} $$