基礎問題集
数学2 図形と式「直線」の問題6 解説
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解説
方針・初手
内分点の公式，中点の公式，直線の傾きを順に用いればよい。
まず点 $P$ と点 $M$ の座標を求め，その後で $AB$ の傾きから，これに垂直な直線の傾きを求める。
解法1
点 $P$ は線分 $AB$ を $3:1$ に内分するから，$AP:PB=3:1$ である。
したがって内分点の公式より，$P$ の座標は
$$ \begin{aligned} \left( \frac{1\cdot(-1)+3\cdot3}{3+1}, \frac{1\cdot1+3\cdot5}{3+1} \right) &= \left( \frac{8}{4}, \frac{16}{4} \right) &= (2,4) \end{aligned} $$
である。
よって
$$ [ア]=2,\quad [イ]=4 $$
である。
次に，中点 $M$ の座標は中点の公式より
$$ \begin{aligned} \left( \frac{-1+3}{2}, \frac{1+5}{2} \right) &= (1,3) \end{aligned} $$
である。
したがって
$$ [ウ]=1,\quad [エ]=3 $$
である。
さらに，直線 $AB$ の傾きは
$$ \frac{5-1}{3-(-1)}=\frac{4}{4}=1 $$
であるから，これに垂直な直線の傾きは $-1$ である。
この直線は点 $M(1,3)$ を通るので，
$$ y-3=-1(x-1) $$
より，
$$ y=-x+4 $$
となる。
したがって
$$ [オ]=-x+4 $$
である。
解説
内分点では，$AP:PB=m:n$ のとき
$$ P\left(\frac{nx_A+mx_B}{m+n},\frac{ny_A+my_B}{m+n}\right) $$
を用いる。
また，中点は両端の座標の平均であり，垂直な直線の傾きはもとの傾きの負の逆数になる。この問題では $AB$ の傾きが $1$ なので，垂線の傾きがすぐに $-1$ と分かる点が重要である。
答え
$$ [ア]=2,\quad [イ]=4,\quad [ウ]=1,\quad [エ]=3,\quad [オ]=-x+4 $$