解説

方針・初手

点 $P$ を動かしたとき、$\triangle OPM$ を原点 $O$ を中心に1回転してできる図形は、原点を中心とするある円になる。その半径は、$\triangle OPM$ 内の点のうち原点から最も遠い点までの距離である。

したがって、まず $P$ を座標で表し、$OP$ と $OM$ を求め、円の半径が $\max{OP,OM}$ になることを押さえる。そのうえで $\max{OP^2,OM^2}$ を最小にすればよい。

解法1

点 $P$ は線分 $AB$ 上にあるから、$P$ の $x$ 座標を $t$ とおくと

$$ P\left(t,\ 2-\frac{2}{3}t\right) \qquad (0\le t<3) $$

と表せる。 ここで $t=3$ は $P=A$ に対応するが、問題文より除く。

$P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $H$ とすると

$$ H(t,0) $$

であり、$A(3,0)$ と $H(t,0)$ の中点 $M$ は

$$ M\left(\frac{t+3}{2},0\right) $$

である。

$\triangle OPM$ を原点 $O$ を中心に1回転するとき、各点は原点を中心とする円を描く。したがって、通過する点全体が作る図形は、$\triangle OPM$ 内で原点から最も遠い点を半径とする円である。

さらに、$\triangle OPM$ は頂点 $O$ をもつ三角形なので、三角形内の任意の点は辺 $PM$ 上のある点と $O$ を結ぶ線分上にある。よって原点から最も遠い点は辺 $PM$ 上にある。

辺 $PM$ 上で原点からの距離の二乗は点に関して2次関数になるから、その最大値は端点でとる。したがって、求める円の半径を $R$ とすると

$$ R=\max\{OP,OM\} $$

である。

そこで $OP^2,\ OM^2$ を求める。

まず

$$ OP^2=t^2+\left(2-\frac{2}{3}t\right)^2 =\frac{13}{9}t^2-\frac{8}{3}t+4 $$

であり、

$$ OM^2=\left(\frac{t+3}{2}\right)^2 $$

である。

よって最小化すべき量は

$$ \max\left\{ \frac{13}{9}t^2-\frac{8}{3}t+4,\ \left(\frac{t+3}{2}\right)^2 \right\} $$

となる。

ここで差をとると

$$ \begin{aligned} OP^2-OM^2 &= \left(\frac{13}{9}t^2-\frac{8}{3}t+4\right) -\left(\frac{t+3}{2}\right)^2 \\ &= \frac{43t^2-150t+63}{36} \\ &= \frac{(t-3)(43t-21)}{36} \end{aligned} $$

である。

したがって、$0\le t<3$ において

• $0\le t<\dfrac{21}{43}$ では $OP^2>OM^2$
• $\dfrac{21}{43}<t<3$ では $OP^2<OM^2$

となる。

よって $\max{OP^2,OM^2}$ が最小になるのは、2つが等しくなるとき、すなわち

$$ OP^2=OM^2 $$

となるときである。

したがって

$$ t=\frac{21}{43} $$

であり、このとき

$$ y=2-\frac{2}{3}\cdot\frac{21}{43} =2-\frac{14}{43} =\frac{72}{43} $$

となる。

ゆえに

$$ P\left(\frac{21}{43},\frac{72}{43}\right) $$

である。

解説

回転してできる図形の面積を直接扱うのではなく、「半径」を最小化する問題に言い換えるのが要点である。

また、三角形全体の中で原点から最も遠い点を考えるとき、頂点 $O$ を含む三角形であることから辺 $PM$ だけを見れば十分になる。さらにその最大値は端点 $P,\ M$ のどちらかでとるので、結局 $OP$ と $OM$ の大小比較に帰着する。

この種の最小化では、2つの候補のうち大きい方を最小にするため、最適時に両者が等しくなることが多い。

答え

点 $P$ の座標は

$$ \left(\frac{21}{43},\frac{72}{43}\right) $$

である。