解説

方針・初手

外心は辺の垂直二等分線の交点、内心は角の二等分線の交点である。

したがって、まず線分 $OB$ の垂直二等分線を求め、次に $\angle AOB$ と $\angle OAB$ の二等分線をそれぞれ求めればよい。

解法1

点 $O(0,0)$、$A(14,0)$、$B(5,12)$ である。

まず、線分 $OB$ の中点は

$$ \left( \frac{0+5}{2}, \frac{0+12}{2} \right)=\left( \frac{5}{2}, 6 \right) $$

である。

また、直線 $OB$ の傾きは

$$ \frac{12-0}{5-0}=\frac{12}{5} $$

であるから、その垂直二等分線の傾きは

$$ -\frac{5}{12} $$

である。

よって、線分 $OB$ の垂直二等分線の方程式は

$$ y-6=-\frac{5}{12}\left( x-\frac{5}{2} \right) $$

すなわち

$$ y=-\frac{5}{12}x+\frac{169}{24} $$

である。したがって、

$$ [\text{ア}]=-\frac{5}{12},\qquad [\text{イ}]=\frac{169}{24} $$

となる。

外心 $M$ は、辺 $OA$ の垂直二等分線 $x=7$ 上にあるから、

$$ y=-\frac{5}{12}\cdot 7+\frac{169}{24} =\frac{-70+169}{24} =\frac{99}{24} =\frac{33}{8} $$

より、

$$ M=\left( 7,\frac{33}{8} \right) $$

である。よって

$$ [\text{ウ}]=\frac{33}{8} $$

となる。

次に、$\angle AOB=2\alpha$ とおく。直線 $OA$ は $x$ 軸であり、直線 $OB$ の傾きは $\dfrac{12}{5}$ なので、

$$ \tan 2\alpha=\frac{12}{5} $$

である。したがって

$$ [\text{エ}]=\frac{12}{5} $$

となる。

ここで、$t=\tan\alpha$ とおくと、倍角公式より

$$ \frac{2t}{1-t^2}=\frac{12}{5} $$

であるから、

$$ 10t=12(1-t^2) $$

$$ 12t^2+10t-12=0 $$

$$ 6t^2+5t-6=0 $$

これを解くと

$$ (3t-2)(2t+3)=0 $$

より

$$ t=\frac{2}{3},\ -\frac{3}{2} $$

を得る。$\alpha$ は鋭角であるから

$$ \tan\alpha=\frac{2}{3} $$

である。よって

$$ [\text{オ}]=\frac{2}{3} $$

となる。

したがって、$\angle AOB$ の二等分線は点 $O$ を通り、傾き $\dfrac{2}{3}$ をもつので、

$$ y=\frac{2}{3}x $$

である。

次に、$\angle OAB=2\beta$ とおく。点 $A$ から見ると、辺 $AO$ は左向きの水平線であり、辺 $AB$ の傾きは

$$ \frac{12-0}{5-14}=-\frac{4}{3} $$

である。

したがって、$\angle OAB$ の大きさは、左向き水平線と $AB$ のなす角であるから、

$$ \tan 2\beta=\frac{12}{9}=\frac{4}{3} $$

よって

$$ [\text{カ}]=\frac{4}{3} $$

となる。

ここで、$u=\tan\beta$ とおくと、

$$ \frac{2u}{1-u^2}=\frac{4}{3} $$

より

$$ 6u=4(1-u^2) $$

$$ 4u^2+6u-4=0 $$

$$ 2u^2+3u-2=0 $$

となる。これを解くと

$$ (2u-1)(u+2)=0 $$

より

$$ u=\frac{1}{2},\ -2 $$

を得る。$\beta$ は鋭角であるから

$$ \tan\beta=\frac{1}{2} $$

である。

点 $A$ における角の二等分線は、左向き水平線から $\beta$ だけ下がる向きになるので、その傾きは

$$ -\tan\beta=-\frac{1}{2} $$

である。よって、$\angle OAB$ の二等分線は点 $A(14,0)$ を通るから、

$$ y=-\frac{1}{2}(x-14) $$

すなわち

$$ y=-\frac{1}{2}x+7 $$

である。したがって、

$$ [\text{キ}]=-\frac{1}{2},\qquad [\text{ク}]=7 $$

となる。

内心 $N$ は 2 本の角の二等分線の交点であるから、

$$ \frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}x+7 $$

を解けばよい。整理すると

$$ \frac{7}{6}x=7 $$

より

$$ x=6 $$

であり、

$$ y=\frac{2}{3}\cdot 6=4 $$

となる。したがって、

$$ N=(6,4) $$

であるから、

$$ [\text{ケ}]=6,\qquad [\text{コ}]=4 $$

となる。

解説

外心は辺の垂直二等分線、内心は角の二等分線という基本事実をそのまま使う問題である。

$\angle AOB$ の二等分線は、$OB$ の傾きから倍角公式を用いて傾きを求めるのが自然である。また、$\angle OAB$ については、$AB$ の傾きそのものではなく、左向きの半直線 $AO$ とのなす角を見ていることに注意が必要である。

答え

$$ [\text{ア}]=-\frac{5}{12},\quad [\text{イ}]=\frac{169}{24},\quad [\text{ウ}]=\frac{33}{8},\quad [\text{エ}]=\frac{12}{5},\quad [\text{オ}]=\frac{2}{3} $$

$$ [\text{カ}]=\frac{4}{3},\quad [\text{キ}]=-\frac{1}{2},\quad [\text{ク}]=7,\quad [\text{ケ}]=6,\quad [\text{コ}]=4 $$